在數學(xué)里，區間通常是指這樣的一類(lèi)實(shí)數集合：如果x和y是兩個(gè)在集合里的數，那么，任何x和y之間的數也屬于該集合。例如，由符合0≤x≤1的實(shí)數所構成的集合，便是一個(gè)區間，它包含了0、1，還有0和1之間的全體實(shí)數。其他例子包括：實(shí)數集，負實(shí)數組成的集合等。

區間在積分理論中起著(zhù)重要作用，因為它們作為最"簡(jiǎn)單"的實(shí)數集合，可以輕易地給它們定義"長(cháng)度"、或者說(shuō)"測度"。然后，"測度"的概念可以拓，引申出博雷爾測度，以及勒貝格測度。

區間也是區間算術(shù)的核心概念。區間算術(shù)是一種數值分析方法，用于計算舍去誤差。

區間的概念還可以推廣到任何全序集T的子集S，使得若x和y均屬于S，且x<z<y，則z亦屬于S。例如整數區間[-1...2]即是指{-1,0,1,2}這個(gè)集合。

中文名

區間

外文名

interval

標準

新制訂的ISO 80000-2

應用范圍

數學(xué)領(lǐng)域

記號

()和[]

類(lèi)型

數學(xué)術(shù)語(yǔ)

地位

區間算術(shù)的核心概念

記號

通用的區間記號中，圓括號表示“排除”，方括號表示“包括”。例如，區間(10,20)表示所有在10和20之間的實(shí)數，但不包括10或20。另一方面，[10,20]表示所有在10和20之間的實(shí)數，以及10和20。而當我們任意指一個(gè)區間時(shí)，一般以大寫(xiě)字母I記之。

有的國家是用逗號來(lái)代表小數點(diǎn)，為免產(chǎn)生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來(lái)代替。例如

[1,2.3]

就要寫(xiě)成

[1;2,3]

。否則，若只把小數點(diǎn)寫(xiě)成逗號，之前的例子就會(huì )變成

[1,2,3]

了。這時(shí)就不能知道究竟是1.2與3之間，還是1與2.3之間的區間了。

在法國及其他一些歐洲國家，是用]與[代替（與）比如

寫(xiě)成

寫(xiě)成]1,2[，

這種寫(xiě)法原先也包括在國際標準化組織編制的ISO31-11內。ISO31-11是一套有關(guān)物理科學(xué)及科技中所使用的數學(xué)符號的規范。在2009年，已由新制訂的ISO80000-2所取替，不再包括]與[的用法。

定義

用集合的語(yǔ)言，我們定義各種區間為：

注意

均是代表空集，單元素集合不能用區間表示，如集合{0}不能表示為或[0,0]。而當a>b時(shí)，上述的四種記號一般都視為代表空集。區間不為空集時(shí)，a,b稱(chēng)為區間的端點(diǎn)。一般定義b-a為區間的長(cháng)度。區間的中點(diǎn)則為

區間[a,b]有時(shí)也稱(chēng)為線(xiàn)段。（不為空集或單元素集的話(huà)）

除了表示區間，圓括號和方括號也有其他用法，視乎語(yǔ)境而定。譬如

也可表示集合論中的有序對丶解析幾何中點(diǎn)的坐標，線(xiàn)性代數中向量的坐標，有時(shí)也用來(lái)表示一個(gè)復數，有時(shí)在數論中，用

表示整數

的最大公約數。

也偶爾用作表示有序對，尤其在計算機科學(xué)的范疇里。同樣在數論里，用

表示整數

的最小公倍數。

有部分作者以

來(lái)表示區間

在實(shí)數集里的補集，即是包含了小于或等于a的實(shí)數，以及大于或等于b的實(shí)數。

無(wú)限區間

我們可以用

符號來(lái)表示區間在某方向上無(wú)界。具體定義如下：

特別地，

表示正實(shí)數集，亦記作

。

則表示了非負實(shí)數集。

如果區間是單側無(wú)界，也稱(chēng)為射線(xiàn)或半直線(xiàn)。如果它包含有限端點(diǎn)，則稱(chēng)其為閉射線(xiàn)或閉半直線(xiàn)。如果不包含有限端點(diǎn)，則稱(chēng)其為開(kāi)射線(xiàn)或開(kāi)半直線(xiàn)。

一般使用的便是以上五種記號，而

等的寫(xiě)法則相當少見(jiàn)。有的作者假定區間為實(shí)數集的子集，對于他們來(lái)說(shuō)，這些寫(xiě)法要麼是無(wú)意義，要麼就是跟用圓括號的意思沒(méi)兩樣。在後者的情況下，我們可以寫(xiě)作

。于是實(shí)數集可被視為又開(kāi)又閉的區間。

如果我們考慮擴展的實(shí)數軸，那么這四種寫(xiě)法是有數的區間。

一般而言，對于整數a,b，具體寫(xiě)作：

。

除了[a..b]，也有{a..b}和a..b的寫(xiě)法，意思一樣。

[a..b]的記號被用于一些程式語(yǔ)言，例如Pascal和Haskell。

如果一個(gè)整數區間是有界的話(huà)，那麼它必然包含最小數a和最大數b。因此，如果想定義去掉最小數或最大數的區間，只需用[a..b-1],[a+1..b]或[a+1..b-1]表示。無(wú)需像實(shí)數區間般引進(jìn)[a..b)或(a..b)的記號。

分類(lèi)

實(shí)數區間一共可分成11種，如下所列。其中a,b是實(shí)數，且a

1.

空集

：

2.

退化區間

(degenrateinterval)：

有界區間

3.閉區間：

4.開(kāi)區間：

5.左閉右開(kāi)區間：

6.左開(kāi)右閉區間：

單側無(wú)界

有下界但無(wú)上界：

7.左閉：

8.左開(kāi)：

有上界但無(wú)下界：

9.右閉：

10.右開(kāi)：

11.

雙側無(wú)界

：

#1、#4、#8、#10、和#11可稱(chēng)為“開(kāi)區間”（標準拓撲下是開(kāi)集），#1、#2、#3、#7、#9和#11可稱(chēng)為“閉區間”（標準拓撲下是閉集）。#3和#4有時(shí)稱(chēng)為“半開(kāi)區間”或“半閉區間”。#1和#11同時(shí)為“開(kāi)”和“閉”，并非“半開(kāi)”、“半閉”。

表示法

區間表示法是指在實(shí)數線(xiàn)上，以視覺(jué)化的方式表示出一個(gè)區間的范圍。亦指以區間形式給出（含有一個(gè)未知數x的）不等式的解集。

性質(zhì)

上述的各種區間正是實(shí)數軸上的全體連通子集。由此可推得，一個(gè)區間在連續函數下的像也是一個(gè)區間，這是介值定理的另外一個(gè)表述。

區間也恰好涵蓋了實(shí)數集的所有凸的子集。另，設X是

的一個(gè)子集，如果Y是包含X的最小閉區間（即如果Z是另一個(gè)包含X的閉區間，Y也包含于Z），便是Y的凸包。實(shí)際上，

任意一組區間的交集仍然是區間。兩個(gè)區間的并集是區間，當且僅當它們的交集非空，又或者一個(gè)區間所不包含的端點(diǎn)，恰好是另一個(gè)區間包含的端點(diǎn)。例如：

如果把

當作度量空間，它的開(kāi)球便是區間

（r為正數），閉球便是區間

定義推廣

多維區間

一個(gè)n維區間可定義為

的子集，其為n個(gè)區間的笛卡爾積，即

時(shí)，一般來(lái)說(shuō)是定義了一個(gè)長(cháng)方形，它的長(cháng)和闊分別平行于兩條坐標軸。

時(shí)，一般的是定義了一個(gè)長(cháng)方體，它的各邊同樣是平行于坐標軸。

復數區間

復數的區間可定義成復平面上的一個(gè)區域，兩種合理的選擇是長(cháng)方形或圓盤(pán)。

算法

區間算術(shù)又稱(chēng)區間數學(xué)、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進(jìn)以作數值分析上計算舍去誤差的工具。

區間算術(shù)的基本運算是，對于實(shí)數線(xiàn)上的子集

及

：

被一個(gè)包含零的區間除，在基礎區間算術(shù)上無(wú)定義。

區間算術(shù)的加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集

是

的子集。