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整數分拆
萊昂哈德·歐拉提出的理論
整數分拆問(wèn)題是一個(gè)古老而又十分有趣的問(wèn)題。所謂整數的分拆，指將一個(gè)正整數表示為若干個(gè)正整數的和。
基本信息
| 中文名 | 整數分拆 |
| 外文名 | Integer splitting、Partition |
| 提出者 | 萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler) |
| 應用 | 研究各種分拆函數性質(zhì)及相互關(guān)系 |
| 相關(guān)人物 | G.H.哈代 斯里尼瓦瑟·拉馬努金 |
| 科目 | 數學(xué) |
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原理
整數分拆問(wèn)題是一個(gè)古老而又十分有趣的問(wèn)題。所謂整數的分拆，指將一個(gè)正整數表示為若干個(gè)正整數的和。
分類(lèi)
根據是否考慮分拆部分之間的排列順序，我們可以將整數分拆問(wèn)題分為有序分拆（composition）和無(wú)序分拆（partition）。兩者之間的區別如下：
在有序分拆中，考慮分拆部分求和之間的順序。假定
，
之間不同的排序記為不同的方案，稱(chēng)之為n的有序k拆分，如3的有序2拆分為：
。我們可以將這個(gè)問(wèn)題建模為排列組合中的“隔板”問(wèn)題，即n個(gè)無(wú)區別的球分為r份且每份至少有一個(gè)球，則需要用
個(gè)隔板插入到球之間的
個(gè)空隙，因此總共的方案數為
。
在無(wú)序拆分中，不考慮其求和的順序。一般假定，
，我們稱(chēng)之為n的無(wú)序k拆分，如3的無(wú)序k拆分為：
。這種拆分可以理解為將n個(gè)無(wú)區別的球分為r份且每份至少有一個(gè)球。
一般情況下，無(wú)序拆分的個(gè)數用
表示，則
，
，
。
在通常情況下，整數分拆是指整數的無(wú)序分拆。
例子
例1 有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，問(wèn)能稱(chēng)出多少重量，并各有幾種稱(chēng)法。
該問(wèn)題可以看成n拆分成1,2,3,4之和且不允許重復的拆分數，利用母函數計算如下：
整數分拆
例3 將15分拆成兩個(gè)自然數的和，并使這兩個(gè)自然數的積最大，如何分拆？
分析與解 不考慮加數順序，可將15分拆成下列形式的兩個(gè)自然數的和：
。顯見(jiàn)，將15分拆成
時(shí)，有最大積
。
注：從上述兩例可見(jiàn)，將一個(gè)自然數分拆成兩個(gè)自然數的和時(shí)，如果這個(gè)自然數是偶數2m，當分拆成
時(shí)，有最大積
；如果這個(gè)自然數是奇數
，當分拆成
時(shí)，有最大積
。
例4 將14分拆成3個(gè)自然數的和，并使這三個(gè)自然數的積最大，如何分拆？
分析與解 顯然，只有使分拆成的數之間的差盡可能地?。ū热缡?或1），這樣得到的積才最大。這樣不難想到將14分拆成
時(shí)，有最大積
。
拆分數估計
拆分數估計定理證明
拆分數性質(zhì)
性質(zhì)一
整數n拆分成最大數為k的拆分數，和數n拆分成k個(gè)數的和的拆分數相等。
性質(zhì)二
整數n拆分成最多不超過(guò)m個(gè)數的和的拆分數，和n拆分成最大不超過(guò)m的拆分數相等。
性質(zhì)三
整數n拆分成互不相同的若干奇數的和的拆分數，和n拆分成自共軛的Ferrers圖像的拆分數相等。
拆分數計算方法
整數拆分可以利用漸進(jìn)公式計算，隨著(zhù)N的無(wú)限大，整數拆分估算值接近實(shí)際值，現代還可以利用計算機的方法進(jìn)行求解。在這里，主要介紹4中計算方法。
遞推法
根據n和m的關(guān)系，考慮下面幾種情況：
（1）當
時(shí)，不論m的值為多少
，只有一種劃分，即
；
（2）當
時(shí)，不論 的值為多少（
），只有一種劃分，即
；
（3）當
時(shí)，根據劃分中是否包含n，可以分為兩種情況：
（a）劃分中包含n的情況，只有一個(gè)，即
；
（b）劃分中不包含n的情況，這時(shí)劃分中最大的數字也一定比n小，即n的所有
劃分；
因此，
。
（4）當
時(shí)，由于劃分中不可能出現負數，因此就相當于f(n,n)；
（5）當
時(shí)，根據劃分中是否包含m，可以分為兩種情況：
（a）劃分中包含 的情況，即
，其中
的和為
，可能再次出現m，因此是
的m劃分，因此這種劃分個(gè)數為
；
（b）劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的
劃分，個(gè)數為
；
因此，
。
綜合以上各種情況，可以看出，上面的結論具有遞歸定義的特征，其中（1）和（2）屬于回歸條件，（3）和（4）屬于特殊情況，而情況（5）為通用情況，屬于遞歸的方法，其本質(zhì)主要是通過(guò)減少n或m以達到回歸條件，從而解決問(wèn)題。
詳細遞推公式描述如下：
參考源碼
這個(gè)版本的時(shí)間復雜度較高，運行效率很低。
動(dòng)態(tài)規劃法
考慮到在上一節使用遞歸中，很多的子遞歸重復計算。如在計算
時(shí)，劃分成為 
，進(jìn)一步劃分為 
，接下來(lái)轉換為
，這樣就產(chǎn)生了重復，然而，在遞歸的時(shí)候，每個(gè)都需要被計算一遍，因此可見(jiàn)，位于底層的狀態(tài)，計算的次數也越來(lái)越多。這樣在時(shí)間開(kāi)銷(xiāo)特別大，是造成運算慢的根本原因，比如算120的時(shí)候需要3秒中，計算130的時(shí)候需要27秒鐘，在計算機200的時(shí)候....計算10分鐘還沒(méi)計算出來(lái)。
鑒于此，我們已經(jīng)分析出了普通遞推關(guān)系中存在大量的冗余造成了重復計算，最終導致了運行時(shí)間太長(cháng)，一種自然地想法是能夠用一種技巧，以避免重復計算？這里我們使用動(dòng)態(tài)規劃的思想進(jìn)行程序設計。
在上一節中，已經(jīng)分析了狀態(tài)轉移的方程，因此，我們在求解子問(wèn)題時(shí)，利用標記的思想，首先檢查產(chǎn)生的子問(wèn)題是否在之前被計算過(guò)，這是因為對于相同的子問(wèn)題，得到的結果肯定是一樣的，因此利用這一步去掉冗余的操作，極大減少了計算的時(shí)間開(kāi)銷(xiāo)。對于沒(méi)有標記的子問(wèn)題來(lái)說(shuō)，一定是沒(méi)有被計算過(guò)，這樣，在計算完成后，順便標記一下子問(wèn)題，以確保以后不用再重復計算。利用這個(gè)特性，可以確保所有的劃分子問(wèn)題都無(wú)重復，無(wú)遺漏的恰巧被計算一次。
動(dòng)態(tài)規劃版主要是利用了標記思想進(jìn)行加速。
參考源碼如下：
這樣的算法效率快了很多。
生成函數法
對于整數拆分問(wèn)題，也可以從另一個(gè)角度，即“母函數”的角度來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題。所謂母函數，即為關(guān)于x的一個(gè)多項式
，滿(mǎn)足：
因此 
的劃分數，也就是從1到
這 個(gè)數字的組合，每個(gè)數字理論上可以無(wú)限重復出現，即個(gè)數隨意，使它們的和為。顯然，數字 可以有如下可能，出現0次（即不出現），1次，2次，…，
次等等。把數字用 
表示，出現 次的數字用 
表示，不出現用1表示。例如，數字2用 
表示，2個(gè)2用 
表示，3個(gè)2用 
表示，k個(gè)2用 
表示。則對于從1到 的所有可能組合結果我們可以表示為：
上面的表達式中，每個(gè)括號內的多項式代表了數字的參與到劃分中的所有可能情況。因此，該多項式展開(kāi)后，由于
，因此 就代表了 的劃分，展開(kāi)后項的系數也就是的所有劃分個(gè)數，即
。
由此我們找到了關(guān)于整數劃分的母函數，剩下的問(wèn)題就是，我們需要求出 的展開(kāi)后的所有系數。為此，我們首先要做多項式乘法，對于計算機編程來(lái)說(shuō)，并不困難。我們把一個(gè)關(guān)于
的多項式用一個(gè)整數數組
表示，
代表 的系數，然后卷積即可。
參考源碼：
這樣基于生成函數的方法實(shí)際上快了很多。
五邊形數法
對應圖形如下：
整數分拆
其中 為 的分割函數。上式配合五邊形數定理，有：
在 時(shí)，等式右側的系數均為0，比較等式二側的系數，可得
整數分拆
參考代碼：
以上設計的代碼是最高效的。
通過(guò)比較上述四種算法，可見(jiàn)整數拆分的劃分方法比較多樣，且不同的算法運行效率差距比較大，需要仔細理解和思考。
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這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫(xiě)！
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