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模形式論
自守形式理論的特例
模形式論是數學(xué)上一個(gè)滿(mǎn)足一些泛函方程與增長(cháng)條件、在上半平面上的（復）解析函數。因此，模形式論屬于數論的范疇。模形式也出現在其他領(lǐng)域，例如代數拓撲和弦理論。
基本信息
| 中文名 | 模形式論 |
| 外文名 | modular form |
| 應用學(xué)科 | 數學(xué) |
| 性質(zhì) | 自守形式理論 |
| 屬性 | 公式 |
| 學(xué)科 | 數理科學(xué) |
| 領(lǐng)域 | 數論 |
收起
基本介紹
模形式論是更廣泛的自守形式理論的特例。自守形式理論的發(fā)展大致可分成三期：
3.1925至1960年：由赫克發(fā)端，發(fā)現了模形式與數論的聯(lián)系。
作為格的函數
2) 存在常數
（通常取正整數），使得對任何
，有
。常數k稱(chēng)為此模形式之 權。
3) 對于最小非零元與原點(diǎn)距離大于一定值之格
，
有上界。
當
，條件二表明
僅決定于 在相似變換下的等價(jià)類(lèi)。這是重要的特例，但是權為零的模形式必為常數函數。若去掉條件三，并容許函數有極點(diǎn)，則存在非常數的例子，稱(chēng)作 模函數。
這個(gè)狀況可以與射影空間 
作類(lèi)比：對于射影空間，我們欲尋找向量空間 
上對座標的多項式函數
，并滿(mǎn)足
；不幸的是，這種函數必為常數。一種辦法是容許有分母（即考慮有理函數），則滿(mǎn)足條件的是分子、分母為同次數齊次多項式的有理函數。另一種辦法則是修改條件 為
，則滿(mǎn)足此條件的函數為 次齊次多項式，對每個(gè)固定的，這些函數構成有限維向量空間。借著(zhù)考慮所有可能的，我們可以找出構造 上的有理函數所需之分子與分母。
既然 次齊次多項式在 上并非真正的函數，該如何從幾何上詮釋?zhuān)看鷶祹缀谓o出了一個(gè)答案：它們是 上某個(gè)層 
的截面。模形式的情形也類(lèi)似，但考慮的不是，而是某個(gè)?？臻g。
作為橢圓曲線(xiàn)?？臻g上的函數
每個(gè)格 
都決定一條復橢圓曲線(xiàn)
；兩個(gè)格給出的橢圓曲線(xiàn)同構的充要條件是兩個(gè)格之間差一個(gè)非零復數的倍數。因此模函數可以看作是復橢圓曲線(xiàn)的?？臻g上的函數。例如橢圓曲線(xiàn)的j-不變量就是模函數。模形式可視作?？臻g上某些線(xiàn)叢的截面。
每個(gè)格在乘上某個(gè)非零復數倍數后皆可表成
。對一模形式，置
。模形式的第二個(gè)條件可改寫(xiě)成函數方程：對所有 
且
（即模群
之定義），有
廣義定義
令 
為正整數，相應的模群 
定義為：
若對每個(gè)尖點(diǎn)都有
，則稱(chēng)之為尖點(diǎn)形式。使得 
的最小
稱(chēng)作 在該尖點(diǎn)的階。以上定義的模形式有時(shí)也稱(chēng)為整模形式，以區分帶極點(diǎn)的一般情形（如j-不變量）。
另一種的推廣是考慮某類(lèi)函數
，并將函 數方程改寫(xiě)為
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