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一次函數
本詞條是多義詞，共2個(gè)義項
高中解析幾何的基石
一次函數是函數中的一種，一般形如y=kx+b（k,b是常數，k≠0），其中x是自變量，y是因變量。特別地，當b=0時(shí)，y=kx（k為常數，k≠0），y叫做x的正比例函數（direct proportion function）。
一次函數及其圖象是初中代數的重要內容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點(diǎn)考查內容。
基本信息
| 中文名 | 一次函數 |
| 外文名 | Linear function |
| 表達式 | y=kx+b（k，b為常數，且k≠0） |
| 提出者 | 萊布尼茨 |
| 應用學(xué)科 | 數學(xué) 科學(xué) |
| 適用領(lǐng)域 | 計算機，數學(xué) |
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函數由來(lái)
“函數”一詞最初是由德國的數學(xué)家萊布尼茨在17世紀首先采用的，當時(shí)萊布尼茨用“函數”這一詞來(lái)表示變量x的冪，即
，
，….接下來(lái)萊布尼茨又將“函數”這一詞用來(lái)表示曲線(xiàn)上的橫坐標、縱坐標、切線(xiàn)的長(cháng)度、垂線(xiàn)的長(cháng)度等等所有與曲線(xiàn)上的點(diǎn)有關(guān)的變量。就這樣“函數”這詞逐漸盛行。
在中國，古時(shí)候的人將“函”字與“含”字通用，都有著(zhù)“包含”的意思，清代數學(xué)家、天文學(xué)家、翻譯家和教育家，近代科學(xué)的先驅者李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數?！敝袊墓糯诉€用“天、地、人、物”4個(gè)字來(lái)表示4個(gè)不同的未知數或變量，顯然，在李善蘭的這個(gè)定義中的含義就是“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數?！边@樣，在中國“函數”是指公式里含有變量的意思。
一次函數
瑞士數學(xué)家雅克·柏努意給出了和萊布尼茨相同的函數定義.1718年，雅克·柏努意的弟弟約翰·柏努意給出了函數了如下的函數定義：由任一變數和常數的任意形式所構成的量叫做這一變數的函數。換句話(huà)說(shuō)，由x和常量所構成的任一式子都可稱(chēng)之為關(guān)于x的函數。
1775年，歐拉把函數定義為：“如果某些變量：以某一種方式依賴(lài)于另一些變量。即當后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著(zhù)變化，我們把前面的變量稱(chēng)為后面變量的函數.”由此可以看到，由萊布尼茲到歐拉所引入的函數概念，都還是和解析表達式、曲線(xiàn)表達式等概念糾纏在一起。
首屈一指的法國數學(xué)家柯西引入了新的函數定義：“在某些變數間存在著(zhù)一定的關(guān)系，當一經(jīng)給定其中某一變數的值，其它變數的值也可隨之而確定時(shí)，則將最初的變數稱(chēng)之為‘自變數’，其它各變數則稱(chēng)為‘函數’”.在柯西的定義中，首先出現了“自變量”一詞。
1834年，俄國數學(xué)家羅巴契夫斯基進(jìn)一步提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個(gè)數，它對于每一個(gè)x都有確定的值，并且隨著(zhù)x一起變化。函數值可以由解析式給出，也可以由一個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對應值的方法。函數的這種依賴(lài)關(guān)系可以存在，但仍然是未知的”.這個(gè)定義指出了對應關(guān)系。即條件的必要性，利用這個(gè)關(guān)系以求出每一個(gè)x的對應值。
1837年德國數學(xué)家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關(guān)系是無(wú)關(guān)緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對應，則y是x的函數。”
上面函數概念的演變，我們可以知道，函數的定義必須抓住函數的本質(zhì)屬性，變量y稱(chēng)為x的函數，只須有一個(gè)法則存在，使得這個(gè)函數取值范圍中的每一個(gè)值，有一個(gè)確定的y值和它對應就行了，不管這個(gè)法則是公式或圖象或表格或其他形式。
由此，就有了我們課本上的函數的定義：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數。
表示方法
一次函數有三種表示方法，如下：
1、解析式法
一次函數
用含自變量x的式子表示函數的方法叫做解析式法。
2、列表法
把一系列x的值對應的函數值y列成一個(gè)表來(lái)表示的函數關(guān)系的方法叫做列表法。
3、圖像法
用圖象來(lái)表示函數關(guān)系的方法叫做圖象法。
解析式
一次函數的解析式為：
基本性質(zhì)
函數性質(zhì)
1. y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k
即：
（k不等于0，且k，b為常數）。
2. 當
時(shí)，b為函數在y軸上的交點(diǎn)，坐標為(
)。
3. k為一次函數
的斜率，
(角θ為一次函數圖象與x軸正方向夾角，
)。
5. 函數圖象性質(zhì)：當k相同，且b不相等，圖像平行；
一次函數
當k不同，且b相等，圖象相交于Y軸；
6. 平移時(shí)：上加下減在末尾，左加右減在中間。
圖像性質(zhì)
1. 作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟：
（1）列表：每確定自變量x的一個(gè)值，求出因變量y的一個(gè)值，并列表；
（2）描點(diǎn)：一般取兩個(gè)點(diǎn)，根據“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”的道理，即在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點(diǎn)。
一般地，
的圖象過(guò)
和
兩點(diǎn)即可畫(huà)出。
正比例函數
的圖象是過(guò)坐標原點(diǎn)的一條直線(xiàn)，一般取
和
兩點(diǎn)畫(huà)出。
（3）連線(xiàn)：可以作出一次函數的圖象——一條直線(xiàn)。因此，作一次函數的圖象只需知道2點(diǎn)，并連成直線(xiàn)即可。（通常找函數圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)分別是與，
）
2. 性質(zhì)：（1）在一次函數上的任意一點(diǎn)
，都滿(mǎn)足等式：
。（2）一次函數與y軸交點(diǎn)的坐標總是
，與x軸總是交于正比例函數的圖象都是過(guò)原點(diǎn)。
3. 函數不是數，它是指某一變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。
4. k，b與函數圖象所在象限：
y=kx時(shí)（即b等于0，y與x成正比，此時(shí)的圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn))
一次函數
當k>0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大；
當k<0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。
當 
這時(shí)此函數的圖象經(jīng)過(guò)一，二，三象限；
當 
這時(shí)此函數的圖象經(jīng)過(guò)一，三，四象限；
當 
這時(shí)此函數的圖象經(jīng)過(guò)一，二，四象限；
當
這時(shí)此函數的圖象經(jīng)過(guò)二，三，四象限。
當
時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、二象限；
當
時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)三、四象限。
特別地，當
時(shí)，直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)
表示的是正比例函數的圖象。
這時(shí)，當
時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)一、三象限，不會(huì )通過(guò)二、四象限。當k<0時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)二、四象限，不會(huì )通過(guò)一、三象限。
5. 特殊位置關(guān)系
6. 直線(xiàn)的圖象和性質(zhì)與k、b的關(guān)系如下表所示：
結論：時(shí)，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。
7. 將函數向上平移n格，函數解析式為
，將函數向下平移n格，函數解析式為
，將函數向左平移n格，函數解析式為
，將函數向右平移n格，函數解析式為
。
位置關(guān)系
當平面直角坐標系中兩直線(xiàn)平行時(shí)，其函數解析式中k的值（即一次項系數）相等；
關(guān)于平面直角坐標系中兩直線(xiàn)垂直時(shí)，其函數解析式中K值互為相反數的證明：
一次函數
如圖，這2個(gè)函數互相垂直，但若直接證明，存在困難，不易理解，如果平移平面直角坐標系，使這2個(gè)函數的交點(diǎn)交于原點(diǎn)，就會(huì )更簡(jiǎn)單。就像這一樣，可以設這2個(gè)函數的表達式分別為；
又有
，得
化簡(jiǎn)得：
即
所以?xún)蓚€(gè)K值的乘積為-1。
學(xué)習方法
知識要點(diǎn)
1.要理解函數的意義。
2.聯(lián)系實(shí)際對函數圖象的理解。
3.隨圖象理解數字的變化而變化。
誤區提醒
1.對一次函數概念理解有誤，漏掉一次項系數不為0這一限制條件；
2.對一次函數圖象和性質(zhì)存在思維誤區；
3.忽略一次函數自變量取值范圍；(有時(shí)x∈Z ,其圖象表現為非連續性的點(diǎn)的集合）
一次函數
4.對于一次函數中，把自變量認為不能等于零。
函數應用
常用公式
1.求函數圖象的k值：
，即
（α為直線(xiàn)與x軸正方向的夾角）
2.求與x軸平行線(xiàn)段的中點(diǎn)：
3.求與y軸平行線(xiàn)段的中點(diǎn)：
4.求任意線(xiàn)段的長(cháng)度：
5.求兩個(gè)一次函數式圖像交點(diǎn)坐標：解兩函數式
一次函數
兩個(gè)一次函數
，
，令
，得
。將解得的
值代回，兩式的任一式，得到
，則
即為 y與之交點(diǎn)坐標。
7.求任意2點(diǎn)的連線(xiàn)的一次函數解析式：
（若分母為0，則分子為0）
(x,y)的正負性為 +，+（正，正）時(shí)該點(diǎn)在第一象限
(x,y)的正負性為 -，+（負，正）時(shí)該點(diǎn)在第二象限
(x,y)的正負性為 - ，-（負，負）時(shí)該點(diǎn)在第三象限
(x,y)的正負性為 +，-（正，負）時(shí)該點(diǎn)在第四象限
8.若兩條直線(xiàn)，互相平行，則
，
9.如兩條直線(xiàn)，互相垂直，則
10.設原直線(xiàn)為
一次函數
口訣：左加右減相對于X，上加下減相對于b。
11.直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)：，與y軸的交點(diǎn)：
生活中的應用
1.當時(shí)間t一定，距離s是速度v的一次函數。
。
2.如果水池抽水速度f(wàn)一定，水池里水量g是抽水時(shí)間t的一次函數。設水池中原有水量S。
。
3.當彈簧原長(cháng)度b（未掛重物時(shí)的長(cháng)度）一定時(shí)，彈簧掛重物后的長(cháng)度y是重物重量x的一次函數，即（k為任意正數）。
常見(jiàn)題型
常見(jiàn)題型一次函數及其圖象是初中代數的重要內容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點(diǎn)考查內容。
一. 定義型
例1. 已知函數
是一次函數，求其解析式。
解：由一次函數定義而知
一次函數
注意：利用定義求一次函數解析式時(shí)，要保證
。如本例中應保證
。
二. 點(diǎn)斜型
例2. 已知一次函數
的圖象過(guò)點(diǎn)(2, -1)，求這個(gè)函數的解析式。
解：一次函數 的圖象過(guò)點(diǎn)(2, -1)， ，即
。故這個(gè)一次函數的解析式為
。
變式問(wèn)法：已知一次函數 ，當
時(shí)，
時(shí)，求這個(gè)函數的解析式。
三. 兩點(diǎn)型
例3.已知某個(gè)一次函數的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標分別是(-2, 0)、(0, 4)，則這個(gè)函數的解析式為_(kāi)____。
解：設一次函數解析式為
由題意得
故這個(gè)一次函數的解析式為
。
四. 圖像型
例4. 已知某個(gè)一次函數的圖象如圖所示，則該函數的解析式為_(kāi)_________。
解：設一次函數解析式為由圖可知一次函數 的圖象過(guò)點(diǎn)(1, 0)、(0, 2) 有 
所以
故這個(gè)一次函數的解析式為
五. 斜截型
例5. 已知直線(xiàn)與直線(xiàn)
平行，且在y軸上的截距為2，則直線(xiàn)的解析式為_(kāi)__________。
解析：兩條直線(xiàn)； 。當 ，
時(shí)，
∴直線(xiàn)與直線(xiàn)平行 。又 直線(xiàn)在y軸上的截距為2，故直線(xiàn)的解析式為
或
。
六. 平移型
例6. 把直線(xiàn)
向下平移2個(gè)單位得到的圖象解析式為_(kāi)__________。
解析：設函數解析式為 ，直線(xiàn)向下平移2個(gè)單位得到的直線(xiàn)與直線(xiàn)平行
直線(xiàn)在y軸上的截距為
，故圖象解析式為。
七. 實(shí)際應用型
例7. 某油箱中存油20升，油從管道中勻速流出，流速為0.2升/分鐘，則油箱中剩油量Q（升）與流出時(shí)間t（分鐘）的函數關(guān)系式為_(kāi)__________。
解：由題意得
，即
一次函數
注意：求實(shí)際應用型問(wèn)題的函數關(guān)系式要寫(xiě)出自變量的取值范圍，別忘了考慮變量存在等于0的情況。
八. 面積型
解：易求得直線(xiàn)與x軸交為止為止，所以
故直線(xiàn)解析式為
或
。
九. 對稱(chēng)型
若直線(xiàn) 與直線(xiàn)關(guān)于
（1）x軸對稱(chēng)，則直線(xiàn) 的解析式為
；
（2）y軸對稱(chēng)，則直線(xiàn) 的解析式為
；
（3）直線(xiàn)
對稱(chēng)，則直線(xiàn) 的解析式為；
（4）直線(xiàn)
對稱(chēng)，則直線(xiàn) 的解析式為；
例9. 若直線(xiàn)l與直線(xiàn)
關(guān)于y軸對稱(chēng)，則直線(xiàn)l的解析式為_(kāi)___________。
解：由（2）得直線(xiàn)l的解析式為
。
十. 開(kāi)放型
例10. 已知函數的圖象過(guò)點(diǎn)A(1, 4)，B(2, 2)兩點(diǎn)，請寫(xiě)出滿(mǎn)足上述條件的兩個(gè)不同的函數解析式，并簡(jiǎn)要說(shuō)明解答過(guò)程。
解：
（2）由于A(yíng)、B兩點(diǎn)的橫、縱坐標的積都等于4，所以經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的函數圖象還可以是雙曲線(xiàn)
，解析式為。
（3）其它（略）
十一. 幾何型
例11. 如圖，在平面直角坐標系中，A、B是x軸上的兩點(diǎn)，以AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC于E、F兩點(diǎn)，若C點(diǎn)的坐標為(0, 3)。（1）求圖象過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數的解析式，并求其對稱(chēng)軸；（2）求圖象過(guò)點(diǎn)E、F的一次函數的解析式。
（2）連接OE、OF，過(guò)E、F分別作x、y軸的垂線(xiàn)，垂足為M、N、P、G，易求得E 、F ，由待定系數法可求得一次函數解析式為。
十二. 方程型
例12. 若方程
的兩根分別為，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 和Q 的一次函數圖象的解析式
點(diǎn)P(11, 3)、Q(-11, 11)
設過(guò)點(diǎn)P、Q的一次函數的解析式為
則有
解得
故這個(gè)一次函數的解析式為。
其它相關(guān)
函數和方程
1. 從形式上看：一次函數，一元一次方程
。
2. 從內容上看：一次函數表示的是一對(x, y)之間的關(guān)系，它有無(wú)數對值；一元一次方程表示的是未知數x的值，最多只有1個(gè)值。
3. 相互關(guān)系：一次函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標就是相應的一元一次方程的根。例如：
與x軸的交點(diǎn)是(-2, 0)、則一元一次方程
的根是
。
函數和不等式
解不等式的方法：從函數的角度看，就是尋求使一次函數的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；
從函數圖象的角度看，就是確定直線(xiàn)在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標所構成的集合。
對應一次函數，它與x軸交點(diǎn)為。
當時(shí)，不等式
的解為：
，不等式
的解為：
；
當
的解為：不等式的解為：，不等式的解為：。
1. 以二元一次方程組
的解為坐標的點(diǎn)組成的圖象與一次函數
的圖象相同。
2. 二元一次方程組
,
的解可以看作是兩個(gè)一次函數
和
的圖象的交點(diǎn)。
方法小結
把方程組中的兩個(gè)二元一次方程改寫(xiě)成一次函數的形式，然后作出它們的圖象，找出兩圖像的交點(diǎn)，即可知方程組的解。
區別
二元一次方程有兩個(gè)未知數，而一次函數只是說(shuō)未知數的次數為一次，并未限定幾個(gè)變量，因此二元一次方程只是一次函數中的一種。
1. 面直角坐標系中分別描繪出以二元一次方程的解為坐標的點(diǎn)，這些點(diǎn)都在相應的一次函數的圖象上。如方程
有無(wú)數組值，像
以這些解為坐標的點(diǎn)(1, 3)，(2, 1)…都在一次函數
的圖象上。
2. 一次函數圖象上任取一點(diǎn)，它的坐標都適合相應的二元一次方程。如在一次函數
的圖象上任取一點(diǎn)(3, -1)，則
一定是二元一次方程
的一組解。
參考資料
[1]
學(xué)習元·函數小史2014-09-23T00:00:00+08:00[引用日期2022-05-19 12:23:21]
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多項式函數
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五次函數
一般的，形如f（x）=ax+bx+cx+dx+ex+f（a≠0）的函數叫作五次函數。a、b、c、d、e、f對應為其的五、四、三、二、一次項系數與常數。
四次函數
數學(xué)中的概念
三次函數
回歸式拋物線(xiàn)
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高中解析幾何的基石——一次函數
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【一次函數】 06 一次函數圖象的性質(zhì)
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這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫(xiě)！
作者
