平面直角坐標系（勒內·笛卡爾創(chuàng )立的坐標系）
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平面直角坐標系是由法國數學(xué)家勒內·笛卡爾創(chuàng )立的，它是一種用于描述平面內物體位置的坐標系。 平面直角坐標系由兩個(gè)互相垂直的數軸組成，通常稱(chēng)為x軸和y軸。x軸水平放置，y軸垂直放置，它們相交于原點(diǎn)。x軸和y軸的正方向分別指向右方和上方。 通過(guò)平面直角坐標系，我們可以將平面內的任意一點(diǎn)定位，方法是給定該點(diǎn)在x軸和y軸上的坐標值。反過(guò)來(lái)，我們也可以根據給定的坐標值，在平面直角坐標系上找到對應的點(diǎn)。 平面直角坐標系在數學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應用，它是描述幾何圖形、分析物體運動(dòng)、研究物理學(xué)規律等的基礎工具。平面直角坐標系
勒內·笛卡爾創(chuàng )立的坐標系
平面直角坐標系
在同一個(gè)平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡(jiǎn)稱(chēng)直角坐標系（Rectangular Coordinates）。通常，兩條數軸分別置于水平位置與垂直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數軸的正方向。水平的數軸叫做x軸（x-axis）或橫軸，垂直的數軸叫做y軸（y-axis）或縱軸，x軸y軸統稱(chēng)為坐標軸，它們的公共原點(diǎn)O稱(chēng)為直角坐標系的原點(diǎn)（origin），以點(diǎn)O為原點(diǎn)的平面直角坐標系記作平面直角坐標系xOy。
基本信息
中文名
平面直角坐標系
別名
直角坐標系
外文名
Plane Rectangular Coordinate System
應用學(xué)科
數學(xué)
應用領(lǐng)域
函數
創(chuàng )立者
發(fā)展歷程
傳說(shuō)：
有一天，笛卡爾（Descartes 1596—1650，法國哲學(xué)家、數學(xué)家、物理學(xué)家）生病臥床，但他頭腦一直沒(méi)有休息，在反復思考一個(gè)問(wèn)題：幾何圖形是直觀(guān)的，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來(lái)表示方程呢？這里，關(guān)鍵是如何把組成幾何的圖形的點(diǎn)和滿(mǎn)足方程的每一組“數”掛上鉤。他就拼命琢磨。通過(guò)什么樣的辦法、才能把“點(diǎn)”和“數”聯(lián)系起來(lái)。突然，他看見(jiàn)屋頂角上的一只蜘蛛，拉著(zhù)絲垂了下來(lái)，一會(huì )兒，蜘蛛又順著(zhù)絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”，使笛卡爾思路豁然開(kāi)朗。他想，可以把蜘蛛看做一個(gè)點(diǎn)，它在屋子里可以上、下、左、右運動(dòng)，能不能把蜘蛛的每個(gè)位置用一組數確定下來(lái)呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條直線(xiàn)，如果把地面上的墻角作為起點(diǎn)，把交出來(lái)的三條線(xiàn)作為三根數軸，那么空間中任意一點(diǎn)的位置，不是都可以用這三根數軸上找到的有順序的三個(gè)數來(lái)表示嗎？反過(guò)來(lái)，任意給一組三個(gè)有順序的數，例如3、2、1，也可以用空間中的一個(gè)點(diǎn) P來(lái)表示它們。同樣，用一組數（a， b）可以表示平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)也可以用一組二個(gè)有順序的數來(lái)表示。于是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創(chuàng )建了直角坐標系。
坐標系
在平面“二維”內畫(huà)兩條互相垂直，并且有公共原點(diǎn)的數軸，簡(jiǎn)稱(chēng)直角坐標系。平書(shū)局面直角坐標系有兩個(gè)坐標軸，其中橫軸為x軸（x-axis），取向右方向為正方向；縱軸為y軸（y-axis)，取向上為正方向。坐標系所在平面叫做坐標平面，兩坐標軸的公共原點(diǎn)叫做平面直角坐標系的原點(diǎn)。x軸y軸將坐標平面分成了四個(gè)象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三個(gè)部分按逆時(shí)針?lè )较蛞来谓凶?/span>第二象限、第三象限和第四象限。象限以數軸為界，橫軸、縱軸上的點(diǎn)及原點(diǎn)不在任何一個(gè)象限內。一般情況下，x軸y軸取相同的單位長(cháng)度，但在特殊的情況下，也可以取不同的單位長(cháng)度。
點(diǎn)的坐標
在直角坐標系中，對于平面上的任意一點(diǎn)，都有唯一的一個(gè)有序數對（即點(diǎn)的坐標 coordinates）與它對應；反過(guò)來(lái)，對于任意一個(gè)有序數對，都有平面上唯一的一點(diǎn)與它對應。
對于平面內任意一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C分別向x軸、y軸作垂線(xiàn)，垂足在x軸、y軸上的對應點(diǎn)a,b分別叫做點(diǎn)C的橫坐標、縱坐標，有序數對（ordered pair）（a,b）叫做點(diǎn)C的坐標。一個(gè)點(diǎn)在不同的象限或坐標軸上，點(diǎn)的坐標不一樣。
特殊位置的點(diǎn)的坐標的特點(diǎn)：
1.x軸上的點(diǎn)的縱坐標為零；y軸上的點(diǎn)的橫坐標為零。
2.在任意的兩點(diǎn)中，如果兩點(diǎn)的橫坐標相同，則兩點(diǎn)的連線(xiàn)平行于縱軸（兩點(diǎn)的橫坐標不為零）；如果兩點(diǎn)的縱坐標相同，則兩點(diǎn)的連線(xiàn)平行于橫軸（兩點(diǎn)的縱坐標不為零）。
3.點(diǎn)到軸及原點(diǎn)的距離：點(diǎn)到x軸的距離為|y|；點(diǎn)到y軸的距離為|x|；點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為x的平方加y的平方的算術(shù)平方根。
象限
第一象限還可以寫(xiě)成Ⅰ，第二象限還可以寫(xiě)成Ⅱ，第三象限還可以寫(xiě)成Ⅲ，第四象限也可以寫(xiě)成Ⅳ。
對稱(chēng)點(diǎn)
1.關(guān)于x軸成軸對稱(chēng)的點(diǎn)的坐標，橫坐標相同，縱坐標互為相反數。（橫同縱反）
2.關(guān)于y軸成軸對稱(chēng)的點(diǎn)的坐標，縱坐標相同，橫坐標互為相反數。（橫反縱同）
點(diǎn)的符號
橫坐標 縱坐標
第一象限：（+，+）正正
第二象限：（-，+）負正
第三象限：（-，-）負負
第四象限：（+, -）正負
y軸正半軸：（0，+）
y軸負半軸： （0，-）
x軸上的點(diǎn)的縱坐標為0，y軸上的點(diǎn)的橫坐標為0。
原點(diǎn)：（0，0）
注：以數對形式（x，y）表示的坐標系中的點(diǎn)。如（2，-4），“2”是x軸坐標，“-4”是y軸坐標。
1.第一象限中的點(diǎn)的橫坐標(x)大于0，縱坐標(y)大于0。
2.第二象限中的點(diǎn)的橫坐標(x)小于0，縱坐標(y)大于0。
3.第三象限中的點(diǎn)的橫坐標(x)小于0，縱坐標(y)小于0。
4.第四象限中的點(diǎn)的橫坐標(x)大于0，縱坐標(y)小于0。
各象限角平分線(xiàn)的點(diǎn)的特征：
一、三象限角平分線(xiàn)上的點(diǎn)p (a,b）橫縱坐標相等，即
二、四象限角平分線(xiàn)上的點(diǎn)p (a,b)橫縱坐標相反，即
性質(zhì)
2. 一三象限角平分線(xiàn)上的點(diǎn)橫縱坐標相等。
3.二四象限角平分線(xiàn)上的點(diǎn)橫縱坐標互為相反數。
4.一點(diǎn)上下平移，橫坐標不變，即平行于y軸的直線(xiàn)上的點(diǎn)橫坐標相同。
5.y軸上的點(diǎn)，橫坐標都為0。
6.x軸上的點(diǎn)，縱坐標都為0。
7.坐標軸上的點(diǎn)不屬于任何象限。
8.一個(gè)關(guān)于x軸對稱(chēng)的點(diǎn)橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵鴺说?/span>相反數。反之同樣成立。
11.與y軸做軸對稱(chēng)變換時(shí)，y不變，x變?yōu)橄喾磾怠?/span>
12.與原點(diǎn)做軸對稱(chēng)變換時(shí)，y與x都變?yōu)橄喾磾怠?/span>
高斯直角坐標
為了方便工程的規劃、設計與施工，我們需要把測區投影到平面上來(lái)，使測量計算和繪圖更加方便。而地理坐標是球面坐標，當測區范圍較大時(shí)，要建平面坐標系就不能忽略地球曲率的影響。把地球上的點(diǎn)位化算到平面上，稱(chēng)為地圖投影。地圖投影的方法有很多，我國采用的是高斯——克呂格投影（又稱(chēng)高斯正形投影），簡(jiǎn)稱(chēng)高斯投影。它是由德國數學(xué)家高斯提出的，由克呂格改進(jìn)的一種分帶投影方法。它成功解決了將橢球面轉換為平面的問(wèn)題。
投影方法
高斯投影的方法是將地球按經(jīng)線(xiàn)劃分為帶，稱(chēng)為投影帶。投影是從首子午線(xiàn)開(kāi)始的，分6°帶和3°兩種。每隔6°劃分一帶的叫6°帶，每隔3°劃分一帶的叫3°帶。我國領(lǐng)土位于東經(jīng)72°∽136°之間，共包括了11個(gè)6°帶，即13∽23帶；22個(gè)3°投影帶即24∽45帶。
設想一個(gè)平面卷成橫圓柱套在地球外，如圖1－5（a）所示。通過(guò)高斯投影，將中央子午線(xiàn)的投影作為
縱坐標軸，用x表示，將赤道的投影作橫坐標軸，用y表示，兩軸的交點(diǎn)作為坐標原點(diǎn)，由此構成的平面直角坐標系稱(chēng)為高斯平面直角坐標系，如圖1－5（b) 所示。每一個(gè)投影帶都有一個(gè)獨立的高斯平面直角坐標系，區分各帶坐標系則利用相應投影帶的帶號。在每一個(gè)投影帶內，y坐標值都有正有負，這對于計算和使用都不方便，為了使y坐標都為正值，故將縱坐標軸向西平移500㎞，并在y坐標前加上投影帶的帶號。6°帶投影是從英國格林尼治子午線(xiàn)開(kāi)始，自西向東，每隔經(jīng)差6°分為一帶，將地球分為60個(gè)帶，其編號分別為1，2，3，…60。任意帶的中央子午線(xiàn)經(jīng)度為L(cháng)o，它與投影帶號N的關(guān)系如下所示：
式中：N———6°帶的帶號
離中央子午線(xiàn)越遠，長(cháng)度變形越大，在要求較小的投影變形時(shí)，可采用3°投影帶。3°帶是在6°帶的基礎上劃分的，如圖所示。每3°為一帶，從東經(jīng)1°30′開(kāi)始，共120帶，其中央子午線(xiàn)在奇數帶時(shí)與6°帶的中央子午線(xiàn)重合，每帶的中央子午線(xiàn)可用下面的工式計算：
式中：N′——3°帶的帶號。
為了避免y坐標出現負值，3°帶的坐標原點(diǎn)同6°帶一樣，向西移動(dòng)500㎞，并在y坐標前加3°帶的帶號。
特點(diǎn)
（1）投影后中央子午線(xiàn)為直線(xiàn)，長(cháng)度不變形，其余經(jīng)線(xiàn)投影對稱(chēng)并且凹向于中央子午線(xiàn)，離中央子午線(xiàn)越遠，變形越大。
（2）赤道的投影也為一直線(xiàn)，并與中央子午線(xiàn)正交，其余的經(jīng)緯投影為凸向赤道的對稱(chēng)曲線(xiàn)。
（3）經(jīng)緯投影后仍然保持相互垂直的關(guān)系，投影后有角度無(wú)變形。
應用
用直角坐標原理在投影面上確定地面點(diǎn)平面位置的坐標系：
與數學(xué)上的直角坐標系不同的是，它的橫軸為Y軸，縱軸為X軸。在投影面上，由投影帶中央經(jīng)線(xiàn)的投影為調軸、赤道投影為橫軸（Y軸）以及它們的交點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標系稱(chēng)為國家坐標系，國家坐標系（national coordinate system）是各國為進(jìn)行測繪和處理其成果，規定在全國范圍內使用統一坐標框架的坐標系統，又稱(chēng)國家大地坐標系。國家大地坐標系是測制國家基本比例尺地圖的基礎。否則稱(chēng)為獨立坐標系。
坐標方法的簡(jiǎn)單應用：
1.用坐標表示地理位置。
2.用坐標表示平移。
在測量學(xué)中使用的平面直角坐標系統（rectangular plane coordinate system）包括高斯平面直角坐標系和獨立平面直角坐標系。
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尚可名片
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作者
