在數論中，分圓域是在有理數域Q中添加復數單位根進(jìn)行擴張而得到的數域。

學(xué)科

數論

領(lǐng)域

數論

介紹

將n次單位根

加入而得到的分圓域稱(chēng)為n次分圓域，記作

。

由于與費馬最后定理的聯(lián)系，分圓域在現代代數和數論的研究中扮演著(zhù)重要的角色。正是因為庫默爾對這些數域上（特別是當 p為素數時(shí)）的算術(shù)的深入研究，特別是在相應整環(huán)上唯一分解定理的失效，使得庫默爾引入了理想數的概念，并證明了著(zhù)名的庫默爾同余。

性質(zhì)

n次分圓域是多項式

的分裂域，因此是有理數域的伽羅瓦擴域。這個(gè)擴張的

次數：

等于

，其中

是歐拉函數。

的所有伽羅瓦共軛是

，其中 a 遍歷模 n的簡(jiǎn)化剩余系（所有與 n 互質(zhì)的剩余類(lèi)）。同樣地，n次分圓域的伽羅瓦群同構于模 n 的乘法群

，其元素為

與正多邊形的聯(lián)系

高斯最早在研究尺規作正多邊形問(wèn)題時(shí)涉及到了分圓域的理論。這個(gè)幾何問(wèn)題實(shí)際上可以被轉化為伽羅瓦理論下的敘述：對什么樣的 n， n次分圓域可以通過(guò)若干次的二次擴張得到？高斯發(fā)現正十七邊形是可以用尺規作出的。更一般地說(shuō)，對于一個(gè)素數 p，正 p邊形可以用尺規作出當且僅當 p為費馬素數。

與費馬最后定理的聯(lián)系

研究費馬最后定理時(shí)，一個(gè)很自然的思路是將

分解為

的形式，其中的 n是一個(gè)奇素數。這樣得到的一次因式都是 n次分圓域中的代數整數。如果在 n次分圓域中算術(shù)基本定理成立，代數整數的素數分解是唯一的，那么可以通過(guò)它來(lái)確定方程是否有非平凡解。

然而，對于一般的 n，這個(gè)結論是錯誤的。但是，庫默爾找到了一個(gè)繞過(guò)這個(gè)困難的辦法。他引進(jìn)了“理想數”的概念，作為對素數概念的改良。他將代數整數的素數分解不唯一的概念量化為類(lèi)數： h，并證明了如果 h不能被 p整除（這樣的 p被稱(chēng)為正規素數），那么費馬的猜想對于

是成立的。此外，他給出了庫默爾準則來(lái)判斷素數是否是正規的。運用這個(gè)準則，庫默爾檢驗了100以下的素數，除了三個(gè)“不正規”的：37、59和67。

二十世紀后，庫默爾關(guān)于分圓域的類(lèi)數的同余理論被日本數學(xué)家巖澤健吉推廣為巖澤理論。

參見(jiàn)

??克羅內克-韋伯定理

??單位根