概念

集合運算是實(shí)體造型系統中非常重要的模塊，也是一種非常有效的構造形體的方法。從一維幾何元素到三維幾何元素，人們針對不同的情況和應用要求，提出了不少集合運算算法。

在早期的造型系統中，處理的對象是正則形體，因此定義了正則形體集合運算，來(lái)保證正則形體在集合運算下是封閉的。在非正則形體造型中，參與集合運算的形體可以是體、面、邊、點(diǎn)，運算的結果也是這些形體，這就要求集合運算算法中能統一處理這些不同維數的形體，因此需要引入非正則形體運算。

1、正則集與正則集合運算算子

Tilove根據點(diǎn)集拓撲學(xué)的原理，給出了正則集的定義。認為正則的幾何形體是由其內部點(diǎn)的閉包構成，即由內部點(diǎn)和邊界兩部分組成。對于幾何造型中的形體，規定正則形體是三維歐氏空間中的正則集合，因此可以將正則幾何形體描述如下：

主要類(lèi)型

設G是三維歐氏空間R3中的一個(gè)有界區域，且G=bG∪iG，其中bG是G的n－1維邊界，iG是G的內部。G的補空間cG稱(chēng)為G的外部，此時(shí)正則形體G需滿(mǎn)足：

1)bG將iG和cG分為兩個(gè)互不連通的子空間；

2)bG中的任意一點(diǎn)可以使iG和bG連通；

3)bG中任一點(diǎn)存在切平面，其法矢指向cG子空間

4)bG是二維流形。

對于正則形體集合，可以定義正則集合算子。設是集合運算算子（交、并或差），如果R3中任意兩個(gè)正則形體A、B作集合運算：

R=AB

運算結果R仍是R3中的正則形體，則稱(chēng)為正則集合算子，正則并、正則交、正則差分別記為∪*，∩*、-*。

分類(lèi)

幾何造型中的集合運算實(shí)質(zhì)上是對集合中的成員進(jìn)行分類(lèi)的問(wèn)題，Tilove給出了集合成員分類(lèi)問(wèn)題的定義及判定方法。

Tilove對分類(lèi)問(wèn)題的定義為：設S為待分類(lèi)元素組成的集合，G為一正則集合，則S相對于G的成員分類(lèi)函數為：

C(S,G)={S in G，S out G，S on G}， （3-2-1）

其中，

S in G=S∩iG，

S out G=S∩cG，

S on G=S∩bG，

如果S是形體的表面，G是一正則形體，則定義S相對于G的分類(lèi)函數時(shí)，需考慮S的法向量。記-S為S的反向面。形體表面S上一點(diǎn)P相對于外側的法向量為NP(S)，相反方向的法向量為- NP(S)，則（3-2-1）式中S on G可分為兩種情況：

S on G ={S shared(bG)，S shared(-bG)}，

其中，

S shared(bG)={P|P∈S，P∈bG，NP(S)=NP(bG)},

S shared(-bG)={P|P∈S，P∈bG，NP(S)=-NP(bG)}。

于是，S相對于G的分類(lèi)函數C(S,G)可寫(xiě)為：

C(S,G)={S in G，S out G，S shared(bG)，S shared(-bG)}。

由此，正則集合運算定義的形體邊界可表達為：

b(A∪B)={bA out B，bB out A，bA shared(bB)}，

b(A∩B)={bA in B，bB in A，bA shared(bB)}，

b(A-B)={bA out B，-(bB in A)，bA shared(-bB)}。

3．集合運算算法

正則集合運算與非正則形體運算的區別在于增加了正則化處理步驟。下面，我們給出一個(gè)非正則形體的集合運算算法。

假定參與集合運算的形體為A和B，運算的結果形體C=AB，其中集合運算符為通常的集合運算并、交、差（è 、? 、- ）。

對于一個(gè)非正則形體L，可以將其分解為L(cháng)=L3èL2èL1èL0，其中L3為R3中的正則閉集之并，存在面表、邊表、點(diǎn)表等拓撲元素。L2是懸面集，存在邊表和點(diǎn)表。L1是懸邊集，只有端點(diǎn)。L0是孤立點(diǎn)集。

集合運算整個(gè)算法包括了以下幾部分：

(1)求交：參與運算的一個(gè)形體的各拓撲元素求交，求交的順序采用低維元素向高維元素進(jìn)行。用求交結果產(chǎn)生的新元素（維數低于參與求交的元素）對求交元素進(jìn)行劃分，形成一些子元素。這種經(jīng)過(guò)求交步驟之后，每一形體產(chǎn)生的子拓撲元素的整體相對于另一形體有外部、內部、邊界上的分類(lèi)關(guān)系。

2)成環(huán)：由求交得到的交線(xiàn)將原形體的面進(jìn)行分割，形成一些新的面環(huán)。再加上原形體的懸邊、懸點(diǎn)經(jīng)求交后得到的各子拓撲元素，形成一拓撲元素生成集。

(3)分類(lèi)：對形成的拓撲元素生成集中的每一拓撲元素，取其上的一個(gè)代表點(diǎn)，根據點(diǎn)/體分類(lèi)的原則，決定該點(diǎn)相對于另一形體的位置關(guān)系，同時(shí)考慮該點(diǎn)代表的拓撲元素的類(lèi)型（即其維數），來(lái)決定該拓撲元素相對于另一形體的分類(lèi)關(guān)系。

(4)取舍：根據拓撲元素的類(lèi)型及其相對另一形體的分類(lèi)關(guān)系，按照集合運算的運算符要求，要決定拓撲元素是保留還是舍去；保留的拓撲元素形成一個(gè)保留集。

(5)合并：對保留集中同類(lèi)型可合并的拓撲元素進(jìn)行合并，包括面環(huán)的合并和邊的合并。

(6)拼接：以拓撲元素的共享邊界作為其連接標志，按照從高維到低維的順序，收集分類(lèi)后保留的拓撲元素，形成結果形體的邊界表示數據結構。

集合的運算

主條目：并集

兩個(gè)集合可以相"加"。A和B的

并集

定義

給定集合A，B，定義運算∪如下：

并集

示例

• {1, 2}∪{紅色, 白色} = {1, 2, 紅色, 白色}{1, 2, 綠色}∪{紅色, 白色, 綠色} = {1, 2, 紅色, 白色, 綠色}{1, 2}∪{1, 2} = {1, 2}

基本性質(zhì)

作為集合間的二元運算，∪運算具有以下性質(zhì)。

交換律：

結合律：

冪等

律

幺元

主條目：交集

一個(gè)新的集合也可以通過(guò)兩個(gè)集合"共"有的元素來(lái)構造。A和B的

交集

若

不相交

定義

給定集合A，B，定義運算∩如下：

交集

交集

基本性質(zhì)

作為集合間的二元運算，∩運算具有以下性質(zhì)。

• 交換律

  ：

  

• 結合律

  ：

  

• 冪等律

  ：

  

空集合

其它性質(zhì)還有：

示例

{1, 2}∩{紅色, 白色} =

{1, 2, 綠色}∩{紅色, 白色, 綠色} = {綠色}

{1, 2}∩{1, 2} = {1, 2}

主條目：差集

兩個(gè)集合也可以相"減"。A在B中的相對補集，寫(xiě)作B?A，是屬于B的、但不屬于A(yíng)的所有元素組成的集合。

在特定情況下，所討論的所有集合是一個(gè)給定的全集U的子集。這樣，U?A稱(chēng)作A的絕對補集，或簡(jiǎn)稱(chēng)補集（余集），寫(xiě)作A′或CUA。

補集可以看作兩個(gè)集合相減，有時(shí)也稱(chēng)作

差集

定義

給定集合A，B，定義運算-如下：

差集

相對補集

在上下文確定了

全集

補集

余集

基本性質(zhì)

作為集合間的二元運算，- 運算有如下基本性質(zhì)：

右幺元

左零元

示例

{1, 2}?{紅色, 白色} = {1, 2}

{1, 2, 綠色}?{紅色, 白色, 綠色} = {1, 2}

{1, 2}?{1, 2} =

若U是整數集，則奇數的補集是偶數

主條目：對稱(chēng)差

定義

給定集合A，B，定義

對稱(chēng)差

作為集合間的二元運算，△運算具有如下基本性質(zhì)：

交換律

結合律

幺元

逆元