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孿生素數猜想
1900年希爾伯特提出的數論
基本信息
| 中文名 | 孿生素數猜想 |
| 外文名 | Twin prime conjecture |
| 提出者 | 希爾伯特 |
| 提出時(shí)間 | 1900年 |
| 所屬領(lǐng)域 | 解析數論 |
| 學(xué)科 | 數學(xué) |
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簡(jiǎn)介
孿生素數猜想是數論中的著(zhù)名未解決問(wèn)題。這個(gè)猜想產(chǎn)生已久；在數學(xué)家希爾伯特在1900年國際數學(xué)家大會(huì )的著(zhù)名報告中，它位列23個(gè)“希爾伯特問(wèn)題”中的第8個(gè)問(wèn)題，可以被描述為“存在無(wú)窮多個(gè)素數p，并且對每個(gè)p而言，有p+2這個(gè)數也是素數”。
孿生素數即相差2的一對素數。例如3和5，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孿生素數。
素數定理說(shuō)明了素數在趨于無(wú)窮大時(shí)變得稀少的趨勢。而孿生素數，與素數一樣，也有相同的趨勢，并且這種趨勢比素數更為明顯。
由于孿生素數猜想的高知名度以及它與哥德巴赫猜想的聯(lián)系，因此不斷有學(xué)術(shù)共同體外的數學(xué)愛(ài)好者試圖證明它。有些人聲稱(chēng)已經(jīng)證明了孿生素數猜想。然而，尚未出現能夠通過(guò)專(zhuān)業(yè)數學(xué)工作者審視的證明。
1849年，波利尼亞克（AlphonsedePolignac）提出了更一般的猜想：對所有自然數k，存在無(wú)窮多個(gè)素數對
的情況就是孿生素數猜想。素數對
稱(chēng)為孿生素數。數學(xué)家們相信這個(gè)猜想是成立的。
2013年5月，張益唐的論文《素數間的有界距離》在《數學(xué)年刊》上發(fā)表，破解了困擾數學(xué)界長(cháng)達一個(gè)半世紀的難題，證明了孿生素猜想的弱化形勢，即發(fā)現存在無(wú)窮多差小于7000萬(wàn)的素數對。這是第一次有人證明存在無(wú)窮多組間距小于定值的素數對。
無(wú)限多的證明
關(guān)鍵詞：完全不等數,SN區間,LN區間.
大于3的素數只分布在
兩數列中。（n非0自然數，下同）
在6n-1數列中只有這兩種合數，余下就是陰性素數了，所以就有陰性素數定理
在
數列中只有這兩種合數，余下就是陽(yáng)性素數了，所以就有陽(yáng)性素數定理
三、與孿生素數相對應的完全不等數
完全不等數(X),它既不等于陰性上下兩式；也不等于陽(yáng)性上下兩式。
一個(gè)完全不等數所產(chǎn)生的陰性素數q和陽(yáng)性素數P就是一對孿生素數.
并且完全不等數與孿生素數是一一對應的.
為了搞清它們在自然數中分布情況，把四式中的N叫級別因子數，M叫無(wú)限因子數。
四種等數的每一個(gè)級別的最小等數都在
范圍。
每一級別的上等數相鄰兩等數距離是，在自然數列中比例是
，兩種上等數每個(gè)級別的比例合計是
，（但實(shí)際是略少于這個(gè)比例因每一級別的底部都沒(méi)有這個(gè)級別的上等數；下等數也一樣的情況。）
每一級別的下等數相鄰等數的距離是，在自然數列中的比例是，陰陽(yáng)兩種下等數的每個(gè)級別的合計比例是。
每個(gè)級別的四種等數在自然數列中的比例是
.
五、四種等數大小數列的互相滲透
自然數列中有陰性上等數數列，陰性的下等數數列，陽(yáng)性上等數數列和陽(yáng)性下等數數列。它們的級別有無(wú)限多，每一個(gè)級別的數列的等數都是無(wú)限多的。同一種等數級別不同的數列都是互相滲透而產(chǎn)生重疊，并以?xún)杉墑e的等數距離的乘積而嚴格地重疊的。在計算一種若干的級別的等數時(shí)用連乘式正好可以表示它的滲透重疊關(guān)系。四種等數數列之間都有互相滲透而重疊，只有同一級別陰陽(yáng)上上數列。下下數列沒(méi)有滲透。四種數列之間的滲透重疊不用計算也足夠可以證明了。
六、與素數分布基本同步的SN區間
七、每個(gè)大于S8區間內都有8個(gè)以上的完全不等數
在每一個(gè)SN區間只有存在1至N級別的四種數列等數，每一級別等數的比例是可以確定，由于上下級別的滲透。就可以拿以下式來(lái)計算S8區間的完全不等數的至少個(gè)數。
其他每一個(gè)SN區間可用這種方法計算.
隨著(zhù)區間的增大完全不等數計算的數量也會(huì )越來(lái)越多。以后都會(huì )超過(guò)8個(gè).
八、誤差分析
用最嚴格下取整的誤差分析方法，將SN區間捆綁成
的LN區間。在每一個(gè)大于S8的SN區間計算都大于8個(gè)完全不等數，在每一個(gè)LN區間都有
級別等數數列，每級級別有4種等數數列，每一級別一種等數篩一次誤差極限是1.每一個(gè)LN區間誤差極限是
.
最嚴格下取整后大于L4的區間仍然還有4個(gè)完全不等數。
九、總結
根據以上的論證，在大于S8區間每一個(gè)SN區間都有8個(gè)以上的完全不等數.
嚴格的下取整后，大于L4的每一個(gè)LN區間都還有多于4個(gè)的完全不等數以上的量。
LN區間是無(wú)限多的，完全不等數與孿生素數對是一一對應的，所以孿生素數也是無(wú)限多的。
這個(gè)證明期待著(zhù)權威的表態(tài)。[2]
素數——那些因數除了1就是他們本身的數們——就像代數的原子一樣。從歐幾里得——他在2000年前證明了素數有無(wú)窮多個(gè)——開(kāi)始，它們就讓無(wú)數數學(xué)家們?yōu)橹畠A倒。
因為素數從根本上和乘法相關(guān)，理解他們和加法相關(guān)的性質(zhì)就變得很困難。一些數學(xué)上最古老的未解之謎就和素數和加法相關(guān)，其中之一就是孿生素數猜想——存在無(wú)限多組差為2的素數對。另一個(gè)則是哥德巴赫猜想，這個(gè)猜想提出所有的偶數都可以表示為兩個(gè)素數之和。
在自然數列的起始部分存在著(zhù)大量的素數，但是隨著(zhù)數字變大，他們變得越來(lái)越稀少。舉例來(lái)說(shuō)，在前10個(gè)自然數里，40%都是素數——2，3，5和7——但是在所有的10位數里，僅有4%的數是素數。在過(guò)去的一個(gè)世紀里，數學(xué)家們掌握了素數減少的規律：在大數中，連個(gè)素數之間的間隔大約是位數的2.3倍。舉例說(shuō)明，在100位的數中，兩個(gè)素數的平均間隔大約是230。
但是這只是平均而言。素數通常比平均預計得更加緊密地出現，或者相隔更遠。具體來(lái)說(shuō)，“孿生”素數通常扎堆出現，比如3和5還有11和13，他們的差僅為2。而在大數中，孿生素數似乎從沒(méi)有完全消失（目前發(fā)現的最大的孿生素數是
和
）。
1849年，法國數學(xué)家阿爾方·波利尼亞克提出了“波利尼亞克猜想”：對所有自然數k，存在無(wú)窮多個(gè)素數對
。k等于1時(shí)就是孿生素數猜想，而k等于其他自然數時(shí)就稱(chēng)為弱孿生素數猜想（即孿生素數猜想的弱化版）。因此，有人把波利尼亞克作為孿生素數猜想的提出者。
從那時(shí)開(kāi)始，這些猜想的內在吸引力冠予了它們數學(xué)的圣杯的稱(chēng)號，雖然他們可能沒(méi)有實(shí)際的應用價(jià)值。雖然有很多數學(xué)家們致力于證明這一猜想，他們還是不能排除素數的間隔會(huì )一直增長(cháng)最終超過(guò)一個(gè)特定上限的可能。
1921年，英國數學(xué)家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德提出一個(gè)與波利尼亞克猜想類(lèi)似的猜想，通常稱(chēng)為“哈代-李特爾伍德猜想”或“強孿生素數猜想”（即孿生素數猜想的強化版）。這一猜想不僅提出孿生素數有無(wú)窮多對，而且還給出其漸近分布形式。
2013年5月，張益唐在孿生素數研究方面所取得的突破性進(jìn)展，他證明了孿生素數猜想的一個(gè)弱化形式。在最新研究中，張益唐在不依賴(lài)未經(jīng)證明推論的前提下，發(fā)現存在無(wú)窮多個(gè)之差小于7000萬(wàn)的素數對，從而在孿生素數猜想這個(gè)重要問(wèn)題的道路上前進(jìn)了一大步。
張益唐的論文在5月14號在網(wǎng)絡(luò )上公開(kāi)，5月21日正式發(fā)表。5月28號，這個(gè)常數下降到了6000萬(wàn)。僅僅過(guò)了兩天的5月31號，下降到了4200萬(wàn)。又過(guò)了三天的6月2號，則是1300萬(wàn)。次日，500萬(wàn)。6月5號，40萬(wàn)。
在英國數學(xué)家TimGowers等人發(fā)起的“Polymath”計劃中，孿生素數問(wèn)題成為了一個(gè)在全球數學(xué)工作者中利用網(wǎng)絡(luò )進(jìn)行合作的一個(gè)典型。人們不斷地改進(jìn)張益唐的證明，進(jìn)一步拉近了與最終解決孿生素數猜想的距離。在2014年2月，張益唐的七千萬(wàn)已經(jīng)被縮小到246。
研究?jì)热?/div>
非估算性
早在20世紀初，德國數學(xué)家蘭道就推測孿生素數有無(wú)窮多，許多跡象也越來(lái)越支持這個(gè)猜想。最先想到的方法是使用歐拉在證明素數有無(wú)窮多個(gè)所采取的方法。設所有的素數的倒數和為：
1920年代，通過(guò)使用著(zhù)名的篩理論（Sievetheory，基于埃拉托斯特尼篩法的理論），挪威的維果·布朗（ViggoBrun）證明了2能表示成兩個(gè)最多有9個(gè)素數因子的數的差。這個(gè)結論已經(jīng)有些近似于孿生素數猜想了?？梢钥吹?，只要將這個(gè)證明中的“最多有9個(gè)素數因子的數”改進(jìn)到“最多有1個(gè)素數因子的數”，就可以證明孿生素數猜想了。
1966年由已故的我國數學(xué)家陳景潤利用篩法（sievemethod）所取得的。陳景潤證明了：存在無(wú)窮多個(gè)素數p，使得p+2要么是素數，要么是兩個(gè)素數的乘積。這個(gè)結果與他關(guān)于Goldbach猜想的結果很類(lèi)似。一般認為，由于篩法本身的局限性，這一結果在篩法范圍內很難被超越。
估算性
證明孿生素數猜想的另一類(lèi)結果則是估算性結果。這類(lèi)結果估算的是相鄰素數之間的最小間隔Δ，更確切地說(shuō)是：
翻譯成白話(huà)文，這個(gè)表達式所定義的是兩個(gè)相鄰素數之間的間隔，與其中較小的那個(gè)素數的對數值之比在整個(gè)素數集合中所取的最小值。很顯然，孿生素數猜想如果成立，那么Δ必須等于0。因為孿生素數猜想表明
對無(wú)窮多個(gè)n成立，而
，因此兩者之比的最小值對于孿生素數集合（從而對于整個(gè)素數集合也）趨于零。不過(guò)要注意，
只是孿生素數猜想成立的必要條件，而不是充分條件。換句話(huà)說(shuō)，如果能證明
，則孿生素數猜想就不成立；但證明卻并不意味著(zhù)孿生素數猜想就一定成立。
對Δ最簡(jiǎn)單的估算來(lái)自于素數定理。按照素數定理，對于足夠大的x，在x附近素數出現的幾率為
，這表明素數之間的平均間隔為
（這也正是Δ的表達式中出現ln(pn)的原因），從而
給出的其實(shí)是相鄰素數之間的間隔與平均間隔的比值，其平均值顯然為1。平均值為1，最小值顯然是小于等于1，因此素數定理給出
。
對Δ的進(jìn)一步估算始于Hardy和Littlewood。一九二六年，他們運用圓法（circlemethod）證明了假如廣義Riemann猜想成立，則
。這一結果后來(lái)被Rankin改進(jìn)為
。但這兩個(gè)結果都有賴(lài)于本身尚未得到證明的廣義Riemann猜想，因此只能算是有條件的結果。一九四零年，Erd?s利用篩法首先給出了一個(gè)不帶條件的結果：
（即把素數定理給出的結果中的等號部分去掉了）。此后Ricci于一九五五年，Bombieri和Davenport于一九六六年，Huxley于一九七七年，分別把這一結果推進(jìn)到
。Goldston和Yildirim之前最好的結果是Maier在一九八六年取得的
。
2003年，Goldston和Yildirim發(fā)表了一篇論文，聲稱(chēng)證明了。但2003年4月23日，AndrewGranville（UniversitydeMontreal）和KannanSoundararajan（UniversityofMichigan）發(fā)現了Goldston和Yildirim證明中的一個(gè)錯誤。2005年，他們與JanosPintz合作完成了證明。此外，若Elliott-Halberstam猜想成立，孿生素數猜想的弱化版本——存在無(wú)窮多對相距16的素數——在時(shí)也會(huì )成立。
2013年5月14日，《自然》（Nature）雜志在線(xiàn)報道張益唐證明了“存在無(wú)窮多個(gè)之差小于7000萬(wàn)的素數對”，這一研究隨即被認為在孿生素數猜想這一終極數論問(wèn)題上取得了重大突破。
盡管從2到7000萬(wàn)是一段很大的距離，《自然》的報道還是稱(chēng)其為一個(gè)“重要的里程碑”。正如美國圣何塞州立大學(xué)數論教授DanGoldston所言，“從7000萬(wàn)到2的距離（指猜想中尚未完成的工作）相比于從無(wú)窮到7000萬(wàn)的距離（指張益唐的工作）來(lái)說(shuō)是微不足道的?！?/span>
強化版猜想
1849年，阿爾方·德·波利尼亞克提出了更一般的猜想：對所有自然數k，存在無(wú)窮多個(gè)素數對的情況就是孿生素數猜想。因此，波利尼亞克有時(shí)也被認為是孿生素數猜想的提出者。
其中的常數是所謂的孿生素數常數，其中的p表示素數。
哈代和李特爾伍德的猜測實(shí)際上是存在已久的孿生素數猜想的加強版。孿生素數猜想是指“孿生素數有無(wú)窮多個(gè)”。這個(gè)猜想至今仍未被證明。然而，哈代和李特爾伍德的猜測并不是需要建立在孿生素數猜想成立的前提上。
這一猜想不僅提出孿生素數有無(wú)窮多對，而且還給出其漸近分布形式。中國數學(xué)家周海中指出：要證明強孿生素數猜想，人們仍要面對許多巨大的困難。
證明思路
一個(gè)由互不相同的非負整數構成的集合
，若對任意素數p，H中數除以p得到的余數類(lèi)少于p個(gè)，則定義集合H為可接受的。如果證明了存在無(wú)窮多個(gè)n，使得
中至少有兩個(gè)素數，那么我們就可推出：存在無(wú)窮多對素數，每一對的兩素數的差小于
。特別地，
是可接受的，如果能對它證明結論，那么孿生素數猜想就迎刃而解了。
定義
，如果n為素數；定義
，如果n為合數。如果我們可以恰當選取函數lambda(n)，之后定義
然后證明
的話(huà)，我們就證完了。張益唐巧妙地選取了lambda函數，然后成功證明了對
，結論成立。然后他直接使用了前
個(gè)素數作為可接受的集合。
之后經(jīng)過(guò)數學(xué)家的辛勤工作，對
，結論仍然成立，對應的可接受數組為
。因此，對任意的x，在
之間存在差距小于246的素數對。
素數
質(zhì)數（primenumber）又稱(chēng)素數，有無(wú)限個(gè)。一個(gè)大于1的自然數，除了1和它本身外，不能整除以其他自然數（質(zhì)數），換句話(huà)說(shuō)就是該數除了1和它本身以外不再有其他的因數；否則稱(chēng)為合數。根據算術(shù)基本定理，每一個(gè)比1大的整數，要么本身是一個(gè)質(zhì)數，要么可以寫(xiě)成一系列質(zhì)數的乘積；而且如果不考慮這些質(zhì)數在乘積中的順序，那么寫(xiě)出來(lái)的形式是唯一的。最小的質(zhì)數是2。
只有1和它本身兩個(gè)因數的自然數，叫質(zhì)數（或稱(chēng)素數）。（如：由
，可知2的因數只有1和它本身2這兩個(gè)約數，所以2就是質(zhì)數。與之相對立的是合數：“除了1和它本身兩個(gè)因數外，還有其它因數的數，叫合數?！比纾?/span>
，很顯然，4的因數除了1和它本身4這兩個(gè)因數以外，還有因數2，所以4是合數。）
100以?xún)鹊馁|(zhì)數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，在100內共有25個(gè)質(zhì)數。
質(zhì)數的個(gè)數是無(wú)窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個(gè)經(jīng)典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設質(zhì)數只有有限的n個(gè)，從小到大依次排列為
，設
，那么，
是素數或者不是素數。
- 如果為素數，則要大于，所以它不在那些假設的素數集合中。
因此無(wú)論該數是素數還是合數，都意味著(zhù)在假設的有限個(gè)素數之外還存在著(zhù)其他素數。所以原先的假設不成立。也就是說(shuō)，素數有無(wú)窮多個(gè)。
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫(xiě)！
作者
