算術(shù)基本定理（歐幾里得提出的數學(xué)定理）
次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22
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算術(shù)基本定理
歐幾里得提出的數學(xué)定理
基本信息
| 中文名 | 算術(shù)基本定理 |
| 外文名 | Fundamental Theorem of Arithmetic |
| 別名 | 正整數的唯一分解定理 |
| 提出者 | |
| 應用學(xué)科 | 數學(xué) |
| 適用領(lǐng)域 | 交換代數和代數數論等 |
收起
定理內容
任何一個(gè)大于1的自然數N，都可以唯一分解成有限個(gè)質(zhì)數的乘積 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 這里P_1 <... 質(zhì)數，其諸方冪 ai 是正整數。
這樣的分解稱(chēng)為N 的標準分解式。
定理證明
大于1的自然數必可寫(xiě)成素數之積
自然數可以根據其 可除性（是否能表示成兩個(gè)不是自身的自然數的乘積）分成3類(lèi)：質(zhì)數、合數和1。首先，按照定義， n 大于1。其次， n 不是質(zhì)數，因為質(zhì)數p可以寫(xiě)成質(zhì)數乘積：p=p，這與假設不相符合。因此n只能是合數，但每個(gè)合數都可以分解成兩個(gè)嚴格小于自身而大于1的自然數的積。設其中 a 和 b 都是介于1和 n 之間的自然數，因此，按照 n 的定義， a 和 b 都都可以寫(xiě)成質(zhì)數的乘積。從而
也可以寫(xiě)成質(zhì)數的乘積。由此產(chǎn)生矛盾。因此大于1的自然數必可寫(xiě)成質(zhì)數的乘積。
唯一性
引理的證明：若 p | a 則證明完畢。若，那么兩者的最大公約數為1。根據裴蜀定理，存在( m, n) 使得 ma + np = 1。于是 b = b( ma + np) = abm + bnp。由于 p | ab，上式右邊兩項都可以被 p整除。所以 p | b。
再用反證法：假設有些大于1的自然數可以以多于一種的方式寫(xiě)成多個(gè)質(zhì)數的乘積，那么假設 n 是最小的一個(gè)。
根據引理，質(zhì)數
所以中有一個(gè)能被 p1整除，不妨設為 q1。但 q1也是質(zhì)數，因此 q1 = p1 。所以，比n小的正整數也可以寫(xiě)成這與 n 的最小性矛盾！
因此唯一性得證。
定理應用
?。?）一個(gè)大于1的正整數N，如果它的標準分解式為： N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an)
那么它的正 因數個(gè)數為（1+a1)(1+a2).....(1+an)。
?。?）證明素數個(gè)數無(wú)限。
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