精選百科
本文由作者推薦
隨機矩陣
描述馬爾可夫鏈轉變的矩陣
在數學(xué)中，隨機矩陣（也稱(chēng)為概率矩陣、轉移矩陣、替代矩陣、或馬爾可夫矩陣）是用來(lái)描述一個(gè)馬爾可夫鏈的轉變的矩陣。它的每一項都是一個(gè)表示概率的非負實(shí)數。它適用于概率論、統計學(xué)和線(xiàn)性代數，也在計算機科學(xué)和群體遺傳學(xué)中使用。
基本信息
| 中文名 | 隨機矩陣 |
| 外文名 | Stochastic Matrix |
| 別名 | 概率矩陣 轉移矩陣 替代矩陣 馬爾可夫矩陣 |
| 應用學(xué)科 | 概率論、統計學(xué)和線(xiàn)性代數 |
| 作用 | 用來(lái)描述馬爾可夫鏈的轉變的矩陣 |
| 所屬領(lǐng)域 | 計算機科學(xué)和群體遺傳學(xué) |
收起
定義
隨機矩陣描述了在一個(gè)有限狀態(tài)空間S上的馬爾可夫鏈。
隨機矩陣
由于從狀態(tài) i 到下一狀態(tài)的概率總和必須是 1，這個(gè)矩陣是一個(gè)右隨機矩陣，于是
從i 到 j分兩步轉變的概率由然后由給定的P的平方矩陣的(i,j)號元素給出：
隨機矩陣
一般地，在由矩陣P給出的有限馬爾可夫鏈上從任何狀態(tài)轉移到另一個(gè)狀態(tài)的 步轉移概率為P。初始分布為一個(gè)行向量。平穩概率向量 定義為不隨轉移矩陣的運用而變化的一個(gè)向量；也就是說(shuō)，它定義為概率矩陣的左特征向量，其特征值為1：
佩龍一弗羅賓尼斯定理保證了每個(gè)隨機矩陣都具有這樣的向量，而特征值的最大絕對值始終為1。在一般情況下，可能有多個(gè)這樣的向量。然而，對于具有嚴格正項的矩陣，該向量是唯一的，并可以觀(guān)察到對任意i我們都有以下極限而求出，
其中 是行向量 的第j 個(gè)元素。在其他方面，這表示處在狀態(tài) j下的長(cháng)期概率與初始狀態(tài) i是獨立的。這兩種計算得到相同的穩定向量是遍歷定理的一種形式，在各種各樣的耗散動(dòng)力系統廣泛成立：該系統隨著(zhù)時(shí)間演變到定態(tài)。
直觀(guān)地看，隨機矩陣表示一個(gè)馬爾可夫鏈；對概率分布應用隨機矩陣，就是將原始分布的概率質(zhì)量進(jìn)行重新分布，同時(shí)保持其總質(zhì)量。如果反復應用此過(guò)程，分布就會(huì )收斂為馬爾可夫鏈的平穩分布。
設A、B為二個(gè)n×n階轉移矩陣，則以下亦為轉移矩陣:AB、A、1/2(A+B)。
隨機矩陣
分類(lèi)
應用
轉移矩陣可用以表示機率(或變化比率)，而矩陣相乘的結果可用以預測未來(lái)事件發(fā)生的機率。
范例
假設你有一個(gè)計時(shí)器和五個(gè)相鄰的格子排成一行，零時(shí)刻有一只貓在第一個(gè)格子中，而一只老鼠在第五個(gè)格子中。在計時(shí)器增加的時(shí)候貓和老鼠都會(huì )隨機跳到一個(gè)相鄰的格子中。例如，如果貓在第二個(gè)格子，老鼠在第四個(gè)，在計時(shí)器增加后，貓會(huì )出現在第一個(gè)格子 且老鼠會(huì )出現在第五個(gè)格子的概率為1/4。如果貓在第一個(gè)格子而老鼠在第五個(gè)，那么計時(shí)器增加后，貓會(huì )出現在第二個(gè)格子且老鼠會(huì )出現在第四個(gè)的概率為1。當它們處于同一個(gè)格子的時(shí)候，貓會(huì )吃掉老鼠，游戲結束。隨機變量K給出了老鼠仍留在游戲中的時(shí)間步長(cháng)。
表示這個(gè)包含五種位置組合 (貓，鼠) 的狀態(tài)的游戲的馬爾可夫鏈為：
?狀態(tài) 1：(1,3)
?狀態(tài) 2：(1,5)
?狀態(tài) 3：(2,4)
?狀態(tài) 4：(3,5)
?狀態(tài) 5：游戲結束：(2,2), (3,3) & (4,4).
我們使用一個(gè)隨機矩陣來(lái)表示這個(gè)系統的轉移概率（這個(gè)矩陣中的行和列用上面提到的可能狀態(tài)來(lái)索引），
長(cháng)期平均
無(wú)論初始狀態(tài)是什么，貓最終都會(huì )抓到老鼠（概率為1），且極限為穩態(tài) π= (0,0,0,0,1)。要計算隨機變量 Y 的長(cháng)期平均或期望值。對每種狀態(tài) S和時(shí)間 t，都有 Y·P(S=S,t=t) 的貢獻。生存與否可以視作一個(gè)二值變量，Y=1 代表生存狀態(tài)而 Y=0 代表終止狀態(tài)。Y=0 的狀態(tài)不對長(cháng)期平均有貢獻。
位相型表示
由于狀態(tài) 5 是一個(gè)吸收態(tài)，吸收對時(shí)間的分布為離散位相型分布。假設系統從狀態(tài) 2 開(kāi)始，表示為向量[0,1,0,0,0]。老鼠死亡后的狀態(tài)不會(huì )對生存平均產(chǎn)生影響，所以狀態(tài)五可以忽略。初始狀態(tài)和轉移矩陣可以化簡(jiǎn)為，
以及，
；而 其中I為單位矩陣，表示全為1的列矩陣，進(jìn)行狀態(tài)的相加。由于每個(gè)狀態(tài)都占據一個(gè)時(shí)間步長(cháng)，老鼠生存時(shí)間的期望就是在所有生存狀態(tài)和時(shí)間步長(cháng)中占據的概率之和，
其高階矩為
隨機矩陣相關(guān)的文章
亞洲（英語(yǔ)：Asia），是世界七大洲之一，以及亞歐大陸的主體部分，其西鄰歐洲和非洲，東和南面太平洋和印度洋，最北抵北冰洋，總面積約4400萬(wàn)平方千米，囊括48個(gè)國家，總人口數量約42億。
甜瓜（學(xué)名：Cucumis melo L.）是葫蘆科(Cucurbitaceae)黃瓜屬(Cucumis)植物，別名白蘭瓜、哈密瓜、香瓜。甜瓜原產(chǎn)于印度和非洲國家，后廣泛引種于世界溫帶至熱帶地區，中國各地廣泛栽培。甜瓜喜光照，喜溫耐熱，常生長(cháng)在土層深厚、通透性好、不易積水的沙土中。
伊斯法罕城自古就被稱(chēng)為“波斯明珠”。俄羅斯商人菲多特·科托夫早在1623~1624年間就到達了波斯，他在旅行日記中寫(xiě)道：“該城既大又美?；蕦m的大門(mén)一律朝主廣場(chǎng)。大門(mén)很高，而大門(mén)之上則是飾有花紋的金碧輝煌的房間?！彼氖鶎m建于1647年，是阿巴斯二世處理國事和接見(jiàn)外國使節的地方，它并非實(shí)有40根柱子，
cairoCairo是一個(gè)2D圖形庫，支持多種輸出設備?；拘畔⑼馕拿鹀airo主要優(yōu)點(diǎn)方便頁(yè)面的再次利用目的同時(shí)能利用硬件加速器作用支持多種輸出設備詳細介紹目前支持的輸出目標包括XWindow，Quartz，Win32，image.buffers，PostS
尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫(xiě)！
作者
