基本資料

這些業(yè)績(jì)使他在天文學(xué)上享有盛譽(yù)．有人說(shuō)他還計算過(guò)太陰視差，確定過(guò)月亮的近地點(diǎn)和平均移動(dòng)，并且曾編過(guò)850個(gè)恒星的目錄．把圓分成360°的劃分法介紹到希臘的也是希帕克[也許是希普西克(Hipsicles，大約公元前180年)]．據說(shuō)，他曾提倡過(guò)用緯度的和經(jīng)度來(lái)定地球上地點(diǎn)的位置．我們對于這些成果的知識來(lái)自第二手材料，因為幾乎沒(méi)有希帕克的任何原著(zhù)被保存下來(lái)．

數學(xué)成就

然而，對我們來(lái)說(shuō)，希帕克有比在天文學(xué)上更重要的成就，那就是他在三角學(xué)的發(fā)展中所起的作用．四世紀的評論家亞歷山大里亞的泰奧恩曾把十二本討論弦表(table ofchords)設計的論著(zhù)歸功于希帕克．托勒玫

弦長(cháng)以每一等分為單位，以六十進(jìn)位制表達．這樣，以符號crd α表示圓心角α所對的弦長(cháng)，例如

crd36°=37°4′55″．

意思是：36°圓心角的弦等于半徑的37/60(或37個(gè)小部分)，加上一個(gè)小部分的4/60，再加上一個(gè)小部分的55/3600，從圖48看出，弦表等價(jià)于正弦函數表，因為

這樣，托勒玫的弦表實(shí)質(zhì)上給出了從0°到90°每隔15’的角的正弦．這些被托勒玫天才地解釋的計算弦長(cháng)的方式，似乎希帕克就已知道．有證據表明：希帕克系統地使用過(guò)他的表，并且知道與現代解球面直角三角形所用的一些公式等價(jià)的公式．

著(zhù)作資料

泰奧恩曾提到過(guò)：普魯塔克的同輩、亞歷山大里亞的梅內勞斯寫(xiě)的關(guān)于圓中的弦的六本論著(zhù)．這部著(zhù)作和梅內勞斯的許多其它著(zhù)作者失傳了．但幸運地，梅內勞斯的三卷《球面幾何》(Sphaerica)以阿拉伯文保存下來(lái)了，這部著(zhù)作在希臘三角學(xué)的發(fā)展中起重要作用．在第一卷中，第一次給出了球面三角形(spherical triangle)的定義．這卷書(shū)，對球面三角形證明了許多歐幾里得在平面三角形中證明過(guò)的命題，例如，通常的全等定理、關(guān)于等腰三角形的定理等等．除此之外，還證明了：兩個(gè)球面三角形，如果其對應角分別相等，則全等(在平面上不存在類(lèi)似的命題)：以及這樣一個(gè)事實(shí)：球面三角形的三內角之和大于二直角．

命題證明

對稱(chēng)的球面三角形被當作是全等的．第二卷中包括天文學(xué)中一些有趣的定理．第三卷展示當時(shí)的球面三角學(xué)，多半是從大學(xué)幾何課中學(xué)生所熟知的強有力的命題——梅內勞斯定理(Menelaus’theorem)之球面的情況導出的；該定理為：

如果一直線(xiàn)分別交△ABC的三邊BC，CA，AB于L，M，N，則在球面中的一個(gè)類(lèi)似的命題是：一個(gè)大圓分別交一個(gè)球面三角形ABC的三邊BC、 CA、 AB于點(diǎn)L，M，N，則相應的結論等價(jià)于

梅內勞斯假定平面情況是已知的，并用來(lái)證明球面的情況．大量的球面三角學(xué)命題可以用取特殊的三角形和特殊的橫截線(xiàn)的方法從此定理導出．此定理在平面情況和球面情況的逆定理都成立．

天文成就

希臘的天文學(xué)的權威性著(zhù)作是亞歷山大里亞的的托勒玫(Claudius Ptolemy)在大約公元150年寫(xiě)的．這部很有影響的著(zhù)作稱(chēng)為《數學(xué)匯編》(Syntaxis mathematica)是以希帕克的著(zhù)作為基礎的，且以其文筆簡(jiǎn)潔和雋永而著(zhù)稱(chēng)．為了和其它篇幅較小的天文學(xué)著(zhù)作區別開(kāi)，后來(lái)的評論家把它稱(chēng)之為《大匯編》[the superlative magiste或“greatest”(最大的)]．再靠后些，阿拉伯譯者以阿拉伯文冠詞al添在詞頭，因此這部著(zhù)作被稱(chēng)為Al-magest．這部論著(zhù)共十三卷．第一卷除了一些初級的天文學(xué)資料之外，還包括了上面講的弦表，并且扼要解釋從一個(gè)含義豐富的幾何命題，來(lái)推導弦表的方法，這個(gè)命題現在稱(chēng)為托勒玫定理(Ptolemy’s theorem)：

在圓內接四邊形中，兩對角線(xiàn)之積等于兩對對邊之積的和(參看問(wèn)題研究6．9)．

研究成果

第二卷是研究與地球的球面性有關(guān)的現像．第三、四、五卷，用本輪解釋天文學(xué)的地心學(xué)說(shuō)．第四卷中有測量學(xué)的三點(diǎn)問(wèn)題(three—point problem)：確定這樣的點(diǎn)，使這一點(diǎn)與給定的三個(gè)點(diǎn)中每?jì)牲c(diǎn)的連線(xiàn)所成之角分別為給定的角；并且，有解．這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)有很長(cháng)的歷史，被稱(chēng)作斯內爾(Snell)問(wèn)題(1617年)或波西諾特(Pothenot)問(wèn)題(1692)．第六卷講述日、月食的理論，其中有4．8節中提到過(guò)的π的四位值．第七卷和第八卷是1028個(gè)恒星的目錄．其余幾卷是研究行星的．《大匯編》一書(shū)，在哥白尼和刻卜勒之前一直是標準的天文學(xué)著(zhù)作．

托勒玫寫(xiě)過(guò)關(guān)于地圖射影(參看問(wèn)題6．10)、光學(xué)和音樂(lè )的著(zhù)作．他還試圖從《原本》的其它公理和公設推出歐幾里得的第五(平行)公設，使之把它從歐幾里得的一系列原始假定中去掉，然而沒(méi)有成功。