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超越數論（超越數論）

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超越數論

超越數論是以超越數為研究對象的數論分支之一。

基本信息

外文名	Beyond number theory
分類(lèi)	代數數超越數
學(xué)科	數論
證明者	法國數學(xué)家劉維爾
研究方向	數的超越性

正文

以超越數為研究對象的數論分支之一。全體復數可分為兩大類(lèi)：代數數和超越數。如一個(gè)復數是某個(gè)系數不全為零的整系數多項式的根，則稱(chēng)此復數為代數數。不是代數數的復數，叫做超越數。J.劉維爾開(kāi)創(chuàng )了對超越數的研究，他發(fā)現無(wú)理代數數的有理數逼近的精密性有一個(gè)限度，借此他于1844年構造出歷史上第一批超越數，例如

超越數論

對g=2,3,…都是超越數。早在1844年以前的一個(gè)世紀里，對無(wú)理數的研究已成為一個(gè)注意焦點(diǎn)。1744年,L.歐拉證明了自然對數的底e是無(wú)理數。1761年，J.H.朗伯證明了圓周率π是無(wú)理數。

1873年，C.埃爾米特證明了e是超越數，從而使超越數論進(jìn)入一個(gè)新階段。1882年,F.von林德曼推廣了埃爾米特的方法，證明了π 是超越數，從而解決了古希臘的“化圓為方”問(wèn)題。

19世紀超越數論的最高成就，是林德曼-外爾施特拉斯定理：如果α1,α2,…,αn是兩兩不同的代數數，β1,β2，…,βn是非零代數數，則

超越數論

(1)

由此可以導出，如果α1，α2,…,αn在無(wú)理數域Q上線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則

超越數論

代數無(wú)關(guān)（即它們不適合任一其系數為有理數的多項式方程）。由(1)可知，如α是非零代數數，則sinα，cosα，tanα都是超越數；如α是不等于0和1的代數數，則自然對數lnα是超越數。

1900年,D.希爾伯特提出的23個(gè)問(wèn)題中的第7問(wèn)題是：如果α是不等于0和1的代數數，β是無(wú)理代數數，那么αβ是否超越數？D.希爾伯特曾預言，這個(gè)問(wèn)題的解決將遲于黎曼猜想和費馬大定理。A.O.蓋爾豐德于1929年證明了：若α是不等于零和1的代數數,β是二次復代數數，則αβ是超越數，特別地,

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是超越數。P.O.庫茲明于1930年把這個(gè)結果推廣到β是二次實(shí)代數數的情形，特別地,

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是超越數。1934年,A.O.蓋爾豐德和T.施奈德獨立地對希爾伯特第7問(wèn)題作出了肯定回答，此即所謂蓋爾豐德-施奈德定理。由此可知，若α是正有理數，則常用對數lgα不是有理數，便是超越數；更一般地，對非零代數數α1,α2,β1,β2,若lnα1,lnα2在Q上線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則

超越數論

1966年A.貝克把這個(gè)結果推廣到任意多個(gè)對數的情形，證明了下述重要結果：若α1,α2,…,αn是非零代數數，且lnα1,…,lnαn在Q上線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則1,lnα1,…,lnαn在所有代數數所成的域坴上線(xiàn)性無(wú)關(guān)。其推論有:①若代數數的對數線(xiàn)性組合（其系數為代數數）不等于零，則必為超越數。②若α1,α2,…,αn,β0,β1,…,βn是非零代數數，則

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是超越數。③若 α1,α2,…,αn是不為0和1的代數數，β1,β2,…,βn是代數數，且1，β1,β2,…，βn在Q上線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則

超越數論

是超越數。A.貝克的理論還有定量形式，對數論許多分支有著(zhù)重要應用。例如，第一次對幾類(lèi)很廣的不定方程給出解的絕對值的有效上界，以及用以定出所有類(lèi)數為 1和 2的虛二次域。前者是對于希爾伯特第10問(wèn)題的肯定方面的實(shí)質(zhì)性的貢獻。1970年A.貝克獲費爾茲獎。

代數數的有理逼近是超越數論的重要課題（見(jiàn)丟番圖逼近）。由林德曼－外爾施特拉斯定理發(fā)展而成的西格爾-希德洛夫斯基理論，對于證明一類(lèi)適合線(xiàn)性微分方程組的冪級數的值的代數無(wú)關(guān)性，建立了一般的方法。例如，令

超越數論

若λ是異于負整數和

超越數論

的有理數，則對于任何非零代數數α，Kλ(α)和K懁(α)代數無(wú)關(guān)。

超越數的測度理論是超越數論的又一個(gè)重要內容。1874年，G.康托爾引進(jìn)了可數性的概念，而導致了“幾乎所有”的實(shí)數（復數）都是超越數的結論。1965年，Β.Γ.普林茹克證明了K.馬勒爾在1932年提出的猜想：對于幾乎所有的實(shí)數θ、任意的正整數n 和正數ε，至多有有限多個(gè)n次整系數多項式p(x)，使得

超越數論

其中h是p(x)的諸系數的絕對值的最大值。

超越數論的最新發(fā)展使用著(zhù)來(lái)自交換代數、代數幾何、多復變函數論、甚至上同調理論的方法，正處于活躍之時(shí)。許多著(zhù)名問(wèn)題，例如，沙魯爾猜測：若復數ζ1,…,ζn在Q上線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則由

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在Q上生成的域的超越次數至少為n，及其特例關(guān)于e和π的代數無(wú)關(guān)性（甚或看來(lái)似乎容易得多的e＋π的超越性），以及歐拉常數

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的超越性的猜測，至今都未解決。

參考書(shū)目

華羅庚著(zhù)：《數論導引》，科學(xué)出版社，北京，1957。

A.Baker,Transcendental Number Theory, Cambridge Univ. Press, 1975.

A.Baker and D.W.Masser, ed.,Transcendence Theory:Advances and Applications, Academic Press, New York,1977.

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