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收斂級數
部分和序列極限存在的級數
收斂級數（convergent series）是柯西于1821年引進(jìn)的，它是指部分和序列的極限存在的級數。收斂級數的基本性質(zhì)主要有：級數的每一項同乘一個(gè)不為零的常數后，它的收斂性不變；兩個(gè)收斂級數逐項相加或逐項相減之后仍為收斂級數；在級數前面加上有限項，不會(huì )改變級數的收斂性；原級數收斂，對此級數的項任意加括號后所得的級數依然收斂；級數收斂的必要條件為級數通項的極限為0。
基本信息
| 外文名 | Convergent series |
| 提出時(shí)間 | 1821年 |
| 必要條件 | 通項的極限為0 |
| 分類(lèi) | 收斂級數和絕對收斂級數 |
預備知識
數項級數的定義
給定一個(gè)數列
，對它的各項依次用“+”號連接起來(lái)的表達式“
”稱(chēng)為數項級數，或稱(chēng)為無(wú)窮級數，也可以簡(jiǎn)稱(chēng)為級數，其中
稱(chēng)為數項級數的通項。
上述數項級數常寫(xiě)作：
，或者簡(jiǎn)單記作
。
數項級數的前n項和
數項級數的前 n項和記作
，且有
。
部分和數列
稱(chēng)數列
，即數列
為數項級數的部分和數列。
定義
基本性質(zhì)
性質(zhì)1
設 k 為常數，如果級數
收斂于S，則級數
也收斂，且收斂于
。
證明：設級數 和的部分和分別為
，
則有
，
于是
，這就表明級數 也收斂，且收斂于 。
注：由關(guān)系式
可知，如果數列沒(méi)有極限且
，那么
也沒(méi)有極限。由此我們得到結論：級數的每一項同乘一個(gè)不為零的常數后，它的收斂性不變。
性質(zhì)2
如果級數 、
分別收斂于
，則級數
也收斂，且收斂到
。
證明：設級數 與 的部分和分別為 ，
則級數 的部分和為
，
于是
，這就表明了級數收斂，且收斂于 。
注意：性質(zhì)2說(shuō)明，兩個(gè)收斂級數逐項相加或逐項相減之后仍為收斂級數。
性質(zhì)3
在級數中去掉、加上或改變有限項，不會(huì )改變級數的收斂性。
證明：我們只需證明“在級數的前面部分去掉、加上有限項，不會(huì )改變級數的收斂性”，因為其他情形（即在級數中去掉、加上或改變有限項的情形）都可以看成在級數的前面部分先去掉有限項，然后再加上有限項的結果。
以去掉k項為例，設級數為
，
記原級數前 
項的和為
，前 k 項和為
，去掉前 k 項得到的新級數的前 n 項和為
，
則有
。
易得當
時(shí)， 與 同時(shí)有極限，或者同時(shí)沒(méi)有極限，
即級數與
同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。
類(lèi)似的，可以證明在級數前面加上有限項，不會(huì )改變級數的收斂性。
性質(zhì)4
若級數 收斂，則對此級數的項任意加括號后所得的級數
證明：設級數 的前 n 項部分和，加括號后所成的級數的前 k 項的和為，則有：
...
注意：如果加括號后所成的級數發(fā)散，則原級數也發(fā)散。
性質(zhì)5
如果級數收斂，則必有
。
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