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分形
本詞條是多義詞，共4個(gè)義項
幾何學(xué)術(shù)語(yǔ)
分形，具有以非整數維形式充填空間的形態(tài)特征。通常被定義為“一個(gè)粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個(gè)部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”，即具有自相似的性質(zhì)。分形（Fractal）一詞，是芒德勃羅創(chuàng )造出來(lái)的，其原意具有不規則、支離破碎等意義。1973年，芒德勃羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學(xué)院講課時(shí)，首次提出了分維和分形的設想。
分形是一個(gè)數學(xué)術(shù)語(yǔ)，也是一套以分形特征為研究主題的數學(xué)理論。分形理論既是非線(xiàn)性科學(xué)的前沿和重要分支，又是一門(mén)新興的橫斷學(xué)科，是研究一類(lèi)現象特征的新的數學(xué)分科，相對于其幾何形態(tài)，它與微分方程與動(dòng)力系統理論的聯(lián)系更為顯著(zhù)。分形的自相似特征可以是統計自相似，構成分形也不限于幾何形式，時(shí)間過(guò)程也可以，故而與鞅論關(guān)系密切。
分形幾何是一門(mén)以不規則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)。由于不規則現象在自然界普遍存在，因此分形幾何學(xué)又被稱(chēng)為描述大自然的幾何學(xué)。分形幾何學(xué)建立以后，很快就引起了各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的關(guān)注。不僅在理論上，而且在實(shí)用上分形幾何都具有重要價(jià)值。
基本信息
| 中文名 | 分形 |
| 外文名 | Fractal |
| 定義 | 非整數維形式充填空間的形態(tài)特征 |
| 提出者 | 芒德勃羅 |
| 時(shí)間 | 上世紀70年代 |
| 原因 | 具有不規則、支離破碎等意義 |
| 提出時(shí)間 | 1973年 |
收起
簡(jiǎn)介
“誰(shuí)不知道熵概念就不能被認為是科學(xué)上的文化人，將來(lái)誰(shuí)不知道分形概念，也不能稱(chēng)為有知識?！薄锢韺W(xué)家惠勒
耶魯大學(xué)網(wǎng)站Beno?t B. Mandelbrot個(gè)人主頁(yè)
中文文獻中芒德布羅的譯名一直不統一，芒德布羅本人使用的中文名字是“本華·曼德博”，可見(jiàn)于其耶魯大學(xué)網(wǎng)站個(gè)人主頁(yè)照片，為豎排繁體漢字手寫(xiě)體。全國科學(xué)技術(shù)名詞審定委員會(huì )在數學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)等幾個(gè)學(xué)科術(shù)語(yǔ)的譯名中，使用的都是“芒德布羅”。本華·曼德博（1924－2010，法語(yǔ)原文Beno?t B. Mandelbrot），生于波蘭的立陶宛裔猶太家庭，主要成長(cháng)教育經(jīng)歷是在法國完成的，后長(cháng)期在美國工作。如果追求音譯的準確，還應考慮Mandelbrot姓氏最初的來(lái)源，這是一個(gè)明顯地具有阿什肯那茲猶太姓氏特征的姓（德語(yǔ)“杏仁”+“面包”）。
分形現已成為應用極為廣泛的學(xué)科。芒德布羅個(gè)人風(fēng)格獨特，對各類(lèi)看似“無(wú)定形”、“不光滑”的“怪東西”皆富有興趣，也正是這樣他才能最終抽象創(chuàng )立出分形這門(mén)學(xué)科。曼德布羅特來(lái)訪(fǎng)過(guò)中國大陸一次以上，稱(chēng)中國文字個(gè)個(gè)是圖形，與他路數相合（芒德布羅本人習用法語(yǔ)）。中國最早使用分形理論的可能是金屬學(xué)界。
現今人們熟悉的分形的著(zhù)名實(shí)例，如用“鏤空”辦法制成的康托爾集、謝爾賓斯基三角形(Waclaw Sierpinski,1882-1969，波蘭數學(xué)家)及門(mén)格奶酪或稱(chēng)門(mén)格海綿（Menger，1902-1985，為著(zhù)名經(jīng)濟學(xué)家門(mén)格之子），它們的非整數維數是漸增的，分別為0.63、1.58、2.72，而它們長(cháng)度、面積、體積令人吃驚的皆為0。另一個(gè)用“凸起”辦法制作的科赫曲線(xiàn)(H.von Koch,1870-1924，瑞典數學(xué)家)，其維數是1.26，它的長(cháng)度則是無(wú)限的，可它圍住的面積卻有限！
分形作為一種數學(xué)工具，現已應用于各個(gè)領(lǐng)域，如應用于計算機輔助使用的各種分析軟件中。
由來(lái)
據芒德布羅教授自己說(shuō)，fractal一詞是1975年夏天的一個(gè)寂靜夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時(shí)，突然想到的。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對應的拉丁文動(dòng)詞是frangere（“破碎”、“產(chǎn)生無(wú)規碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分數”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，芒德布羅一直使用英文fractional一詞來(lái)表示他的分形思想。因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾的fractal，本意是不規則的、破碎的、分數的。芒德布羅是想用此詞來(lái)描述自然界中傳統歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類(lèi)復雜無(wú)規的幾何對象。例如，彎彎曲曲的海岸線(xiàn)、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無(wú)常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯的血管，令人眼花繚亂的滿(mǎn)天繁星等。它們的特點(diǎn)都是，極不規則或極不光滑。直觀(guān)而粗略地說(shuō)，這些對象都是分形。
探討
幾何學(xué)
分形幾何與傳統幾何相比有什么特點(diǎn)：
⑴從整體上看，分形幾何圖形是處處不規則的。例如，海岸線(xiàn)和山川形狀，從遠距離觀(guān)察，其形狀是極不規則的。
⑵在不同尺度上，圖形的規則性又是相同的。上述的海岸線(xiàn)和山川形狀，從近距離觀(guān)察，其局部形狀又和整體形態(tài)相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。其中一些是用來(lái)描述一般隨機現象的，還有一些是用來(lái)描述混沌和非線(xiàn)性系統的。
什么是分維
在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面看成二維，而把直線(xiàn)或曲線(xiàn)看成一維。也可以稍加推廣，認為點(diǎn)是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習慣于整數的維數。分形理論把維數視為分數，這類(lèi)維數是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時(shí)需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀(guān)事物的“非規則”程度，1919年，數學(xué)家從測度的角度引入了維數概念，將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。
分維的概念我們可以從兩方面建立起來(lái)：一方面，我們首先畫(huà)一個(gè)線(xiàn)段、正方形和立方體，它們的邊長(cháng)都是1。將它們的邊長(cháng)二等分，此時(shí)，原圖的線(xiàn)度縮小為原來(lái)的
，而將原圖等分為若干個(gè)相似的圖形。其線(xiàn)段、正方形、立方體分別被等分為
、
和
個(gè)相似的子圖形，其中的指數1、2、3，正好等于與圖形相應的經(jīng)驗維數。一般說(shuō)來(lái)，如果某圖形是由把原圖縮小為
的相似的b個(gè)圖形所組成，有：
由若干條Koch曲線(xiàn)組成的Koch雪花
概況
定義
芒德布羅曾經(jīng)為分形下過(guò)兩個(gè)定義：
（1）滿(mǎn)足下式條件
的集合A，稱(chēng)為分形集。其中，Dim(A)為集合A的Hausdoff維數（或分維數），dim(A)為其拓撲維數。一般說(shuō)來(lái)，Dim(A)不是整數，而是分數。
然而，經(jīng)過(guò)理論和應用的檢驗，人們發(fā)現這兩個(gè)定義很難包括分形如此豐富的內容。實(shí)際上，對于什么是分形，到目前為止還不能給出一個(gè)確切的定義，正如生物學(xué)中對“生命”也沒(méi)有嚴格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來(lái)加以說(shuō)明。對分形的定義也可同樣的處理。
分形一般有以下特質(zhì)：
在任意小的尺度上都能有精細的結構；太不規則，以至難以用傳統歐氏幾何的語(yǔ)言描述； （至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫維數會(huì )大於拓撲維數（但在空間填充曲線(xiàn)如希爾伯特曲線(xiàn)中為例外）；有著(zhù)簡(jiǎn)單的遞歸定義。
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例細節，或者說(shuō)它具有精細的結構。
（ii）分形集不能用傳統的幾何語(yǔ)言來(lái)描述，它既不是滿(mǎn)足某些條件的點(diǎn)的軌跡，也不是某些簡(jiǎn)單方程的解集。
（iii）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統計的自相似。
（v）在大多數令人感興趣的情形下，分形集由非常簡(jiǎn)單的方法定義，可能以變換的迭代產(chǎn)生。
意義
上世紀80年代初開(kāi)始的“分形熱”經(jīng)久不息。分形作為一種新的概念和方法，正在許多領(lǐng)域開(kāi)展應用探索。美國物理學(xué)大師約翰·惠勒說(shuō)過(guò)：今后誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能被稱(chēng)為科學(xué)上的文化人。由此可見(jiàn)分形的重要性。
中國著(zhù)名學(xué)者周海中教授認為：分形幾何不僅展示了數學(xué)之美，也揭示了世界的本質(zhì)，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說(shuō)分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)，對它的研究也極大地拓展了人類(lèi)的認知疆域。
分形幾何學(xué)作為當今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科，它的出現，使人們重新審視這個(gè)世界：世界是非線(xiàn)性的，分形無(wú)處不在。分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數學(xué)與藝術(shù)審美的統一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義。
歷史
Von Koch曲線(xiàn)
Von Koch曲線(xiàn) 此曲線(xiàn)在一維下測量任意段長(cháng)度為無(wú)窮大（想象中，考慮到能測量原子的維度）；在二維下測量面積為零
Sierpinski三角形 此圖形面積為零
這些數學(xué)怪物困擾數學(xué)家許多年，直至20世紀，被美國數學(xué)家Benoit B. Mandelbrot創(chuàng )立的分形幾何學(xué)(fractal geometry)徹底解決。Mandelbrot提出：我們之所以無(wú)法用幾何語(yǔ)言去描述這些數學(xué)怪物，是因為我們是在維數為整數的空間中，用維數同樣是整數的“尺子”對其丈量、描述；而維數不應該僅僅是整數，可以是任何一個(gè)正實(shí)數；只有在幾何對象對應的維數空間中，才能對該幾何體進(jìn)行合理的整體或局部描述。以上圖的Koch曲線(xiàn)為例，其維數約為1.26，我們應用同樣為1.26維的尺子對其進(jìn)行描述，比如取該曲線(xiàn)前1/4段作為單位為1的尺子去丈量這個(gè)幾何體，此幾何體長(cháng)度為4。也正是因其維數介于1維與2維之間，所以此幾何體在1維下長(cháng)度為無(wú)窮大，2維下面積為零。
Fractal這個(gè)詞是由Mandelbrot于1975創(chuàng )造的，來(lái)源于拉丁文“Fractus”，其英文意思是broken，即為“不規則、支離破碎”的物體。1967年，Mandelbrot在美國《Science》雜志上發(fā)表題目為《英國的海岸線(xiàn)有多長(cháng)》的劃時(shí)代論文，標志著(zhù)其分形思想萌芽的出現。1977年，Mandelbrot在巴黎出版的法文著(zhù)作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》，1977年，在美國出版其英文版《Fractals:From,Chance,and Dimension》（《分形：形狀機遇和維數》），同年，他又出版了《The Fractal Geometry of Nature》（《大自然的分形幾何》），但是這三本書(shū)還未對社會(huì )和學(xué)術(shù)界造成太大的影響。直到1982年，《The Fractal Geometry of Nature》（《大自然的分形幾何》）第二版才得到歐美社會(huì )的廣泛關(guān)注，并迅速形成了“分形熱”，此書(shū)也被分形學(xué)界視為分形“圣經(jīng)”。
發(fā)展史
分形學(xué)發(fā)展史上的重要里程碑
1883年 Cantor集合被創(chuàng )造
1895年 Weierstrass曲線(xiàn)被創(chuàng )造，此曲線(xiàn)特點(diǎn)是“處處連續，點(diǎn)點(diǎn)不可微”
1906年 Koch曲線(xiàn)被創(chuàng )造
1914年 Sierpinski三角形被創(chuàng )造
1919年 描述復雜幾何體的Hausdorff維問(wèn)世
1967年 Mandelbrot在《Science》雜志上發(fā)表論文《英國的海岸線(xiàn)有多長(cháng)》
1975年 Mandelbrot創(chuàng )造“Fractals”一詞
1975年 Mandelbrot在巴黎出版的法文著(zhù)作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》
1977年 Mandelbrot在美國出版英文著(zhù)作《Fractals:Form,Chance,and Dimension》以及《The Fractal Geometry of Nature》
1982年 《The Fractal Geometry of Nature》第二版，并引發(fā)“分形熱”
1991年 英國的Pergman出版社創(chuàng )辦《Chaos，Soliton and Fractal》雜志
1993年 新加坡世界科學(xué)出版社創(chuàng )辦《Fractal》雜志
1998年 在馬耳他（Malta)的瓦萊塔（Valletta)召開(kāi)了“分形98年會(huì )議”（5th International Multidisciplinary Conference)
2003年 在德國的Friedrichroda召開(kāi)了“第三屆分形幾何和推測學(xué)國際會(huì )議”
2004年 在加拿大（Canada)的溫哥華（Vancouver)召開(kāi)了“分形2004年會(huì )議”（8th International Multidisciplinary Conference)
種類(lèi)
應用
科學(xué)與藝術(shù)的完美結合——分形藝術(shù)
分形誕生在以多種概念和方法相互沖擊和融合為特征的當代。分形混沌之旋風(fēng)，橫掃數學(xué)、理化、生物、大氣、海洋以至社會(huì )學(xué)科，在音樂(lè )、美術(shù)間也產(chǎn)生了一定的影響。
分形所呈現的無(wú)窮玄機和美感引發(fā)人們去探索。即使您不懂得其中深奧的數學(xué)哲理，也會(huì )為之感動(dòng)。
分形使人們覺(jué)悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數學(xué)與藝術(shù)審美上的統一，使昨日枯燥的數學(xué)不再僅僅是抽象的哲理，而是具體的感受；不再僅僅是揭示一類(lèi)存在，而是一種藝術(shù)創(chuàng )作，分形搭起了科學(xué)與藝術(shù)的橋梁。
“分形藝術(shù)”與普通“電腦繪畫(huà)”不同。普通的“電腦繪畫(huà)”概念是用電腦為工具從事美術(shù)創(chuàng )作，創(chuàng )作者要有很深的美術(shù)功底。而“分形藝術(shù)”是純數學(xué)產(chǎn)物，創(chuàng )作者要有很深的數學(xué)功底，此外還要有熟練的編程技能。
苑玉峰老師認為分形圖像有如下用途：
2、用作包裝材料圖案，效果新穎。
4、應用于印染行業(yè)。
劉華杰博士認為：
1、將高精度分形圖形具體應用在建筑設計中，可以考慮將整面墻壁用一幅分形圖裝飾。
2、研究分形建筑陶瓷紋樣、分形紡織紋樣設計及其印染工藝。
3、設計分形時(shí)裝。
4、將分形圖形用于信息加密防偽。
5、印制分形賀卡、明信片和小臺歷
軟件
Ultra Fractal
Visions of Chaos
Fraciant
Apophysis
Incendia
Mandelbulb 3D
Jwildfire
MathStudio（手機軟件）
中醫
1999年，鄧宇等
陰陽(yáng)分形集
五行分形集
案例
羅馬花椰菜
我們可以看到羅馬花椰菜（RomanescoBroccoli）一小簇是整個(gè)花簇的一個(gè)分支，而在不同尺度下它們具有自相似的外形。換句話(huà)說(shuō)，較小的分支通過(guò)放大適當的比例后可以得到一個(gè)與整體幾乎完全一致的花簇。因此我們可以說(shuō)羅馬花椰菜花簇是一個(gè)分形的實(shí)例。
傳統醫學(xué)
最古老的樸素分形集（幾千年歷史，最簡(jiǎn)單的分形集陰陽(yáng)集），1999年，鄧宇等。
陰陽(yáng)集，分維
五行集，分維
參考資料
[1]
曼德博在耶魯大學(xué)官網(wǎng)英文主頁(yè) · 耶魯大學(xué)官網(wǎng)[引用日期2013-09-29]
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫(xiě)！
作者
